C9 - Relații și operații între mulțimi

---

Relații între mulțimi

Două mulțimi $A$ și $B$ sunt egale dacă au aceleași elemente.
Notăm:
$A = B.$

Două mulțimi $A$ și $B$, care nu au aceleași elemente, nu sunt egale, chiar dacă au același număr de elemente.
Notăm:
$A \ne B.$

---

Submulțimi

Definite 1

O mulțime $A$ este submulțime a mulțimii $B$ (spunem că mulțimea $A$ este inclusă în mulțimea $B$)
dacă fiecare element $x$ din $A$ este în același timp și element al mulțimii $B$.
Notăm:
$A \subset B.$

Dacă există cel puțin un element al mulțimii $A$ care nu este element al mulțimii $B$,
atunci $A$ nu este submulțime a lui $B$ și notăm:
$A \not\subset B.$

---

Mulțimea vidă și submulțimile improprii

Definitie 2

Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.

Orice mulțime $A$ are submulțimile $A$ și $\varnothing$, numite submulțimi improprii.

Orice submulțime a lui $A$, diferită de $\varnothing$ și de $A$, dacă există, se numește submulțime proprie a lui $A$.

Proprietate

Dacă $A \subset B$ și $B \subset A$, atunci $A = B$

---

Mulțimea părților

Definitie 3

Mulțimea tuturor submulțimilor unei mulțimi $M$ formează mulțimea părților mulțimii $M$ și se notează:

$$P(M)$$

Exemple:

Exemplul 1

Considerând diagramele de mai jos, avem:

$$B \subset A$$

---

Exemplul 2

Fie:

$$M = \{4, 5, 6, 7, 8\}, \quad N = \{4, 7\}, \quad P = \{7, 8, 9\}$$

Avem:

$$N \subset M \quad \text{și} \quad P \not\subset M \text{ (deoarece } 9 \notin M)$$

---

Exemplul 3

Fie:

$$X = \{0, 2, 4\} \quad \text{și} \quad Y = \{4, 0, 2\}$$

Observăm că:

$$X = Y$$

:::

---

Exemplul 4

Fie:

$$D = \{1, 2, 3\}$$

Toate submulțimile lui $D$ sunt:

$$\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, D$$

Acestea formează mulțimea părților lui $D$:

$$P(D) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, D\}$$

---

Operații cu mulțimi

Intersecția mulțimilor

Definitie 1

Intersecția mulțimilor $A$ și $B$ este mulțimea formată din elementele comune mulțimilor $A$ și $B$.

Scriem:

$$A \cap B = \{ x \mid x \in A \text{ și } x \in B \}$$

Două mulțimi a căror intersecție este mulțimea vidă se numesc mulțimi disjuncte.

Exemplu:

$$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, \quad B = \{2, 4, 6\}$$

Rezultă:

$$A \cap B = \{2, 4\}$$

---

Reuniunea mulțimilor

Definite 2

Reuniunea a două mulțimi $A$ și $B$ este mulțimea formată din elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimile $A$ sau $B$.

Scriem:

$$A \cup B = \{ x \mid x \in A \text{ sau } x \in B \}$$

Exemplu:

$$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, \quad B = \{2, 4, 6\}$$

Rezultă:

$$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

---

Diferența a două mulțimi

Definitie 3

Diferența dintre mulțimea $A$ și mulțimea $B$ este mulțimea formată din elementele lui $A$ care nu aparțin lui $B$.

Scriem:

$$A - B = \{ x \mid x \in A \text{ și } x \notin B \}, \quad B - A = \{ x \mid x \in B \text{ și } x \notin A \}$$

---

Observație

$$A - B \ne B - A$$

Exemplu

$$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, \quad B = \{2, 4, 6\}$$

Rezultă:

$$A - B = \{1, 3, 5\}, \quad B - A = \{6\}$$

---

Aplicație

Fie diagramele de alături. Vom determina mulțimile:

$$A \cap B, \quad A \cap B \cap C, \quad B \cap C, \quad A \cup C, \quad A \cup B \cup C, \\[10pt] \quad A - B, \quad (A - B) \cup (B - A), \quad (A - B) - C$$

Rezultatele sunt:

$$A \cap B = \{0, 2, 3\}$$ $$A \cap B \cap C = \{2\}$$ $$B \cap C = \{2, 4\}$$ $$A \cup C = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}$$ $$A \cup B \cup C = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$ $$A - B = \{1, 5, 8, 9\}$$ $$(A - B) \cup (B - A) = \{1, 5, 8, 9\} \cup \{7, 4\} = \{1, 4, 5, 7, 8, 9\}$$ $$(A - B) - C = \{1, 5, 8, 9\} - C = \{1, 8, 9\}$$

---