C5.4 – Procente de mărire și micșorare

---

Calcul cu procente de mărire și micșorare

Proprietăți

• A mări un număr cu $a\%$ înseamnă a-l înmulți cu

  $$1+\frac{a}{100}$$

  Cantitatea finală $=\left(1+\frac{a}{100}\right)\times \text{cantitatea inițială}.$

---

• A micșora un număr cu $a\%$ înseamnă a-l înmulți cu

  $$1-\frac{a}{100}$$

  Cantitatea finală
  $=\left(1-\frac{a}{100}\right)\times \text{cantitatea inițială}.$

---

Formule-cheie

• Mărire cu $a\%$ $$Q_{\text{final}}=\left(1+\frac{a}{100}\right)Q_{\text{inițial}}$$
• Micșorare cu $a\%$ $$Q_{\text{final}}=\left(1-\frac{a}{100}\right)Q_{\text{inițial}}$$

Exemple rapide

• Creștere cu $5\%$: $1+\dfrac{5}{100}=1{,}05 \;\Rightarrow\;$ înmulțim cu $1{,}05$.
• Scădere cu $35\%$: $1-\dfrac{35}{100}=0{,}65 \;\Rightarrow\;$ înmulțim cu $0{,}65$.

Justificare (pentru o creștere de $5\%$):
Fie $x$ numărul inițial. Creșterea este $\dfrac{5}{100}x=0{,}05x$.
Numărul mărit devine
$x+0{,}05x=x\bigl(1+0{,}05\bigr)=1{,}05x.$

---

Factorul multiplicativ

Numim coeficient de proporționalitate

$$k=\begin{cases} 1+\dfrac{a}{100} & \text{(mărire)}\\[6pt] 1-\dfrac{a}{100} & \text{(micșorare)} \end{cases}$$

și calculăm mereu $Q_{\text{final}}=k\cdot Q_{\text{inițial}}.$

---

Metoda 1 — Calculul cantității finale

1. Alege formula potrivită (mărire / micșorare).
2. Înlocuiește datele.
3. Calculează.

Cerință

Populația unei localități este $10\,200$ și crește cu $14\%$.

Rezolvare:

$$Q_f=\left(1+\frac{14}{100}\right)\cdot10\,200 =1{,}14\cdot10\,200 =11\,628.$$

---

Cerință

Un preț de $80$ lei scade cu $35\%$.

Rezolvare:

$$Q_f=\left(1-\frac{35}{100}\right)\cdot80 =0{,}65\cdot80 =52\;\text{lei}.$$

---

Metoda 2 — Calculul procentului de mărire/micșorare

Plecăm de la formule:

• Pentru mărire: $$Q_f=\left(1+\frac{a}{100}\right)Q_i \;\Longrightarrow\; 1+\frac{a}{100}=\frac{Q_f}{Q_i}.$$
• Pentru micșorare: $$Q_f=\left(1-\frac{a}{100}\right)Q_i \;\Longrightarrow\; 1-\frac{a}{100}=\frac{Q_f}{Q_i}.$$

Exemplu

Un articol trece de la 125 lei la 140lei. Cât este procentul cu care s-a modificat prețul?

$$1 + \frac{a}{100} = \frac{140}{125} = 1,12 \Rightarrow \frac{a}{100} = 0,12 \Rightarrow 12 \%$$

---