C7 - Probabilități

---

Noțiunea probabilității

Exemplu

ex: dacă aruncăm un zar cade pe pământ și notăm numărul de puncte de pe fața superioară

• spunem că este o experiență aleatorie
• în total sunt 6 fețe (cazuri posibile): 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6
• dacă efectuăm mai multe aruncări, frecvența de apariție a unei fețe variază între fiecare față; dacă efectuăm 36 de aruncări, frecvența de apariție a feței „1” este de $\frac{4}{36}$, pentru „2” este de $\frac{6}{36}$ …
• Dacă vom continua să facem un număr mare de aruncări, frecvența de apariție a uneia dintre fețe se apropie de $\frac{1}{6}$

---

Proprietăți

Important

• Probabilitatea e un număr pozitiv cuprins între 0 și 1
• Suma probabilităților tuturor posibilităților este mereu 1

---

Situația echiprobabilă

Dacă toate cazurile posibile ale unei experiențe aleatorii au probabilități egale, atunci spunem că este o echiprobabilitate.

---

Probabilitatea unui eveniment

Pe baza exemplului anterior, notam cu $"E"$ - evenimentul
Spunem ca 3 si 6 sunt cazuri favorabile
$E$ - multiplii lui 3

• Probabilitatea evenimentului $E$ este suma probabilitatilor fetelor favorabile

$$P(E) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Notam cu $F$ - tot ce nu este multiplu a lui 3
Bazandu-ne pe aceasi logica, calculam $P(F)$

• Probabilitatea evenimentului $F$ este suma probabilitatilor fetelor favorabile

$$P(F) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + 0 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Important

Suma dintre probabilitatea unui eveniment si probabilitatea cazului contrar al aceluiasi eveniment trebuie sa fie mereu egala cu 1.

Cum in exemplul nostru avem evenimentul $E$ si $F$ este contrar lui $E$, atunci:

$$P(E) + P(F) = 1 , \; deoarece \begin{cases} P(E) = \frac{1}{3} \\[10pt] P(F) = \frac{2}{3} \end{cases}$$

---

Denumărare

Exemplu

Considerăm 2 urne care conțin bile numerotate și imposibil de văzut. Una conține bile numerotate de la 1 la 3 și cealaltă de la 1 la 4. Scoatem la nimereală o bilă din fiecare urnă, notăm numarul și efectuăm suma numerelor obținute.

Pentru a denumăra toate cazurile posibile și cele favorabile, putem utiliza un arbore sau un tablou cu intrări multiple

• În această experiență sunt 12 cazuri posibile.
• Fie evenimentul A: "suma obținută este un nr. prim".

Tabelul cu intrări multiple

	1	2	3	4
1	2	3	4	5
2	3	4	5	6
3	4	5	6	7

Din tabel rezulta $3 \cdot 4$ (nr. linii X nr. coloane) cazuri posibile, dintre care doar numerele prime sunt favorabile.

$\Rightarrow P(A) = \Large \frac{7}{12}$

---

Arbore

Observam ca pe ultima linie sunt reprezentate 12 posibilitati de bile, dintre care cele favorabile sunt doar cele 7 numere prime.

$\Rightarrow P(A) = \Large \frac{7}{12}$