C6.2 - Mărimi invers proporționale

---

Definiție

Definitie

Două mărimi se numesc invers proporționale dacă atunci când una crește (sau se micșorează) de un număr de ori, cealaltă se micșorează (respectiv crește) de același număr de ori.

Exemplu

Numărul de muncitori și numărul de zile în care finalizează o lucrare:

Nr. muncitori	Nr. zile
8	6
16	3
4	12

Din tabel observăm că:

• $\dfrac{8}{16} = \dfrac{16}{8} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{6}{3} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{12}{4}$

• $8 \cdot 6 = 16 \cdot 3 = 4 \cdot 12$

---

Proprietăți

Proprietatea 1

Raportul a două valori din prima mărime este egal cu inversul raportului valorilor corespunzătoare din cealaltă mărime.

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}$$

Proprietatea 2

Produsul valorilor corespunzătoare din cele două mărimi este constant.

$$a_1 b_1 = a_2 b_2 = \cdots = a_n b_n$$

---

Mulțimi de numere

Definitie

Fiind date două mulțimi
$A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\},\quad B=\{b_1,b_2,\dots,b_n\},$
vom spune că între elementele acestora există o dependență invers proporțională (sunt invers proporționale) dacă

$$a_1 b_1 = a_2 b_2 = \cdots = a_n b_n,$$

sau, echivalent,

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}.$$

---

Probleme rezolvate

Problema 1

4 robinete umplu un bazin în 9 ore. În câte ore umplu bazinul 6 robinete?

Rezolvare

$$\frac{4}{6} = \frac{x}{9} \implies x = \frac{4 \cdot 9}{6} = 6\ \text{ore}$$

---

Problema 2

Determinați numerele $a, b, c$, știind că sunt invers proporționale cu 5, 3 și 15 și

$$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a b c} = \frac{7}{9}$$

Rezolvare
$\{a,b,c\}$ i.p. $\{5,3,15\}$

$\Rightarrow 5a = 3b = 15c \implies a=3c,\ b=5c$

$$\frac{9c^2 + 25c^2 + c^2}{3c \cdot 5c \cdot c} = \frac{35c^2}{15c^3} = \frac{7}{3c} = \frac{7}{9}$$ $$\implies 3c = 9 \implies c = 3,\ a = 9,\ b = 15$$

---

Problema 3

Determinați numerele $a, b, c, d, e$, știind că primele trei sunt direct proporționale cu 2, 3, 4, ultimele trei sunt invers proporționale cu 2, 3, 4 și $a + b + c + d + e = 246.$

Rezolvare

$\{a, b, c\}$ d.p. $\{2,3,4\}$

$\implies \dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{4}$ (1)

$\{c, d, e\}$ i.p. $\{2,3,4\}$

$\implies 2c = 3d = 4e$

$\implies \dfrac{c}{4} = \dfrac{3d}{8} = \dfrac{e}{2}$

$\implies \dfrac{c}{4} = \dfrac{d}{8/3} = \dfrac{e}{2}$ (2)

Din (1) și (2):

$$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{d}{\frac{8}{3}} = \frac{e}{2} = \frac{a + b + c + d + e}{2 + 3 + 4 + \frac{8}{3} + 2} = \frac{246}{11 + \frac{8}{3}} = \frac{246 \cdot 3}{41} = 18.$$

Prin urmare:

$$a = 2 \cdot 18 = 36,\quad b = 3 \cdot 18 = 54,\\[10pt] c = 4 \cdot 18 = 72,\quad d = \frac{8}{3} \cdot 18 = 48,\quad e = 2 \cdot 18 = 36.$$

---