C6.1 - Mărimi direct proporționale

---

Definiție

Definitie

Două mărimi se numesc direct proporționale dacă atunci când una crește (sau se micșorează) de un număr de ori, și cealaltă crește (sau se micșorează) de același număr de ori.

Exemplu

Cantitatea de mere și cantitatea de suc obținut:

Cantitatea de mere (kg)	Cantitatea de suc (l)
10	4
30	12
5	2

Observăm că:

• $\dfrac{10}{30} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{4}{2} = \dfrac{1}{3}$

• $\dfrac{10}{4} = \dfrac{30}{12} = \dfrac{5}{2}$

---

Proprietăți

Proprietatea 1

Raportul a două valori din prima mărime este egal cu raportul valorilor corespunzătoare din cealaltă mărime.

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$$

Proprietatea 2

Raportul valorilor corespunzătoare din cele două mărimi este constant.

$$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = k$$

Mulțimi de numere

Definitie

Fiind date două mulțimi
$A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\},\quad B=\{b_1,b_2,\dots,b_n\},$
vom spune că între elementele acestora există o dependență direct proporțională (sunt direct proporționale) dacă

$$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}.$$

---

Probleme rezolvate

Problema 1

1. 12 kg de mere costă 34 lei. Câte kilograme de mere putem cumpăra cu 18 lei?

Rezolvare

$$\frac{12}{34} = \frac{x}{18} \implies x = \frac{12\cdot18}{34} = 6{,}35\text{ kg}$$

---

Problema 2

2. Fie $x$, $y$, $z$ trei numere direct proporționale cu numerele 3, 5, 7. Aflați $x$, $y$, $z$ dacă $x+y+z=75$.

Rezolvare
$x : y : z = 3 : 5 : 7$

$$\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7} = k$$

$3k + 5k + 7k = 75 \implies 15k = 75 \implies k = 5$

Deci $x = 3\cdot5 = 15,\ y = 5\cdot5 = 25,\ z = 7\cdot5 = 35$

---

Problema 3

3. Împărțiți numărul 450 în părți direct proporționale cu numerele 2, 3, 5, 8.

Rezolvare
$x : y : z : t = 2 : 3 : 5 : 8$

$$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = \frac{t}{8} = k$$

$2k + 3k + 5k + 8k = 450 \implies 18k = 450 \implies k = 25$

Deci $x=50,\ y=75,\ z=125,\ t=200$.

---

Problema 4

4. Dacă numerele $x$, $y$, $z$ sunt direct proporționale cu numerele 9, 15, 11, aflați câte procente reprezintă numărul cel mai mare din suma celorlalte două.

Rezolvare
$x : y : z = 9k : 15k : 11k$

$$\frac{x}{9} = \frac{y}{15} = \frac{z}{11} = k$$

Numărul cel mai mare este $15k$. Suma celorlalte două este $9k + 11k = 20k$.
Procentul cerut:

$$\frac{15k}{20k}\cdot100\% = 75\%$$

---