C8.2 - Cel mai mic multiplu comun

---

Definitie

Cel mai mic multiplu comun al două sau mai multe numere naturale (c.m.m.m.c.) este acel multiplu comun al lor, nenul, care divide toți ceilalți multipli comuni ai numerelor date.

Pentru $a$ și $b$ notăm c.m.m.m.c. al lor cu:

$$[a, b]$$

$M_{15} = \{0, 15, 30, 45, 60, 75, \ldots\}$ – mulțimea multiplilor lui 15.
$M_{10} = \{0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, \ldots\}$ – mulțimea multiplilor lui 10.

$M_{10} \cap M_{15} = \{0, 30, 60, 90, \ldots\}$ – mulțimea multiplilor comuni.

Cel mai mic, nenul, cu proprietatea că îi divide pe ceilalți este 30.

---

Algoritmul de determinare

De Retinut

Pentru a determina cel mai mic multiplu comun pentru două sau mai multe numere naturale procedăm astfel:

1. Descompunem numerele date în produs de puteri de numere prime.
2. Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) va fi egal cu produsul factorilor comuni și necomuni, luați o singură dată, cu exponentul cel mai mare.

---

PASUL 1:

Reluăm exemplul de mai sus:

$$10 = 2 \cdot 5, \quad 15 = 3 \cdot 5$$

Factorii comuni și necomuni sunt $2$, $3$ și $5$.
La fiecare luăm în considerare exponentul cel mai mare, adică $1$.

Rezultă:

$$[10, 15] = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$$

---

PASUL 2:

Descompunem în factori primi nr. $144$, $360$ și $216$.

$$\begin{align*} 144 &= 2^4 \cdot 3^2 \\ 360 &= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \\ 216 &= 2^3 \cdot 3^3 \end{align*}$$

Factorii comuni și necomuni sunt $2$, $3$ și $5$.
Pentru factorul $2$, exponentul cel mai mare este $4$;
pentru factorul $3$, exponentul cel mai mare este $3$;
pentru factorul $5$, exponentul cel mai mare este $1$.

Rezultă:

$$[144, 360, 216] = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5 = 2160$$

Verificare:

$$2160 = 144 \cdot 15, \quad 2160 = 360 \cdot 6, \quad 2160 = 216 \cdot 10$$

---

Observații

• Cel mai mic multiplu comun al două sau al mai multor numere naturale, oricare două prime între ele, este produsul lor.

Exemplu 1

$$[2, 3] = 6, \quad [7, 10] = 70, \quad [8, 9] = 72$$

---

Dacă $a$ și $b$ sunt două numere naturale nenule astfel încât $a \mid b$, atunci:

$$[a, b] = b$$

Exemplu 2

1. $5 \mid 10 \Rightarrow [5, 10] = 10$
2. $7 \mid 35 \Rightarrow [7, 35] = 35$

---

Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

De retinut

Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al numerelor naturale $a$ și $b$ este:

$$(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$$

---