C6.3 - Regula de trei simplă

---

Reprezentarea grafică a dependenței d.p.

Definiție D.P.

Între două mulțimi ordonate $(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)$ și $(b_1, b_2, b_3,..., b_n)$ există o proporționalitate directă dacă:

$$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = k,$$

unde $k$ se numește coeficientul de proporționalitate, $k \ne 0$.

Exemple

Mulțimea ordonată: (1, 2, 7) și (4, 8, 28) sunt în proporționalitate directă deoarece:

$$\frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{7}{28}.$$

Mulțimea (2, 5, 7) și (6, 15, 20) nu sunt în proporționalitate directă deoarece:

$$\frac{5}{15} \ne \frac{7}{20}.$$

Mărimile ale căror valori sunt trecute în tabelul următor sunt direct proporționale:

a	2	2,3	4	5,2
b	10	11,5	20	26

deoarece:

$$\frac{2}{10} = \frac{2,3}{11,5} = \frac{4}{20} = \frac{5,2}{26} = 0,2.$$

Lungimea laturii unui pătrat și perimetrul acestuia sunt în proporționalitate directă.

Latura pătratului (cm)	1	2	3,5	5
Perimetrul pătratului (cm)	4	8	14	20

Observăm că mărind latura pătratului de un număr de ori, s-a mărit și perimetrul acestuia exact de același număr de ori.

Într-un sistem de axe de coordonate punctele cu coordonate reprezentate de perechi de numere corespunzătoare unei relații de proporționalitate directă sunt coliniare.

---

Regula de trei simplă pentru direct proporționalitate

Definitie 1

Regula de trei simplă este procedeul folosit pentru a calcula o valoare a unei mărimi fizice în cazul în care mărimea fizică respectivă este în proporționalitate directă sau inversă cu o altă mărime fizică.

cu alte cuvinte, o folosim pentru a determina numărul necunoscut dintr-o mulțime de 2 elemente, dacă între acea mulțime și o altă mulțime ale cărei elemente sunt cunoscute există o relație de proporționalitate.

De retinut

Procedăm astfel:

• identificăm relația de proporționalitate (directă / inversă);
• calculăm termenul necunoscut după modelul de mai jos.

Exemple

cerințǎ

2 kg de portocale costă 14 lei. Cât costă 7 kg de portocale de aceeași calitate?

2 kg de portocale .......................................... 14 lei
7 kg de portocale .......................................... x lei

$$x = \frac{7 \cdot 14}{2} = 49$$

Răspuns: 7 kg de portocale costă 49 de lei.

Cantitatea de portocale și prețul acesteia sunt în proporționalitate directă, deci folosim metoda proporției astfel:

$$\frac{2}{7} = \frac{14}{x} \Rightarrow x = \frac{7 \cdot 14}{2} = 49~\text{lei}.$$

---

cerințǎ

Din 10 m de stofă se confecționează 4 costume identice. Câte costume de același fel se pot confecționa din 22,5 m de stofă?

10 m de stofă ............................................. 4 costume
22,5 m de stofă ............................................. x costume

$$x = \frac{4 \cdot 22,5}{10} = 9$$

Răspuns: Din 22,5 m de stofă se pot confecționa 9 costume de același fel.

Cantitatea de stofă și numărul de costume confecționate din ea sunt în proporționalitate directă. Scriem proporția:

$$\frac{10}{4} = \frac{22,5}{x} \Rightarrow x = \frac{4 \cdot 22,5}{10} = 9~\text{costume.}$$

---

Reprezentarea grafică a dependenței i.p.

Definitie i.p.

Între două mulțimi finite de numere se stabilește o proporționalitate inversă dacă, cu elementele celor două mulțimi, se poate forma un șir de produse egale.

Mulțimea ordonată $(a_1, a_2, a_3, … , a_n)$ este invers proporțională cu mulțimea ordonată $(b_1, b_2, b_3, … , b_n)$ dacă:

$$a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2 = \dots = a_n \cdot b_n.$$

Exemple

• Mulțimea 6 este invers proporțională cu 2 deoarece
  $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3.$

• Mulțimea 6 nu este invers proporțională cu 2 deoarece
  $2 \cdot 9 \ne 3 \cdot 6 \ne 6 \cdot 2.$

• Mulțimile 4 și 6 din exemplul anterior sunt invers proporționale deoarece
  $1 \cdot 24 = 2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 24.$

Exemple de mărimi invers proporționale

• Numărul de muncitori și intervalul de timp necesar pentru realizarea unui anumit număr de piese de același fel.
• Numărul robinetelor (cu același debit) și timpul de umplere a unui bazin.
• Viteza și timpul necesar parcurgerii unei anumite distanțe.

---

Dacă pentru realizarea unei lucrări unui muncitor i-ar trebui 24 de zile, atunci aceeași lucrare ar putea fi realizată de 2 muncitori în 12 zile, de 3 muncitori în 8 zile sau de 4 muncitori în 6 zile.

Nr. muncitori	1	2	3	4
Nr. zile	24	12	8	6

Se observă că dacă numărul de muncitori crește, atunci numărul de zile necesare pentru realizarea lucrării scade de același număr de ori.

Datele din acest tabel ar putea fi reprezentate grafic într-un sistem de axe ortogonale.

---

Regula de trei simplă pentru invers proporționalitate

Definitie 2

Regula de trei simplă se aplică și în cazul mărimilor invers proporționale. Dacă una dintre mărimi crește, cealaltă scade proporțional.

Exemple

cerințǎ

Trei robinete cu același debit umplu un rezervor în 12 ore. În cât timp pot umple același rezervor 4 robinete?

i.p.
3 robinete .......................... 12 ore
4 robinete .......................... x ore

$$\frac{3}{4} = \frac{x}{12} \Rightarrow x = \frac{3 \cdot 12}{4} = 9$$

R: 9 ore

---

cerințǎ

15 muncitori termină o lucrare în 10 zile. În câte zile pot termina aceeași lucrare 6 muncitori?

i.p.
15 muncitori .......................... 10 zile
6 muncitori ........................... x zile

$$\frac{15}{6} = \frac{x}{10} \Rightarrow x = \frac{15 \cdot 10}{6} = 25$$

R: 25 zile

---

cerințǎ

6 tractoare pot ara o suprafață în 15 ore. După 3 ore mai vin încă două tractoare. În cât timp va fi arată întreaga suprafață?

Cele 6 tractoare au lucrat 3 ore până când au venit celelalte două tractoare. Pentru suprafața rămasă de arat, celor 6 tractoare le-ar mai trebui 12 ore (15 – 3 = 12). După venirea celor două tractoare, numărul acestora ajunge la 8. Datele problemei le vom aranja astfel:

i.p.
6 tractoare .......................... 12 ore
8 tractoare .......................... x ore

$$\frac{6}{8} = \frac{x}{12} \Rightarrow x = \frac{6 \cdot 12}{8} = 9$$

Timpul total în care va fi arată întreaga suprafață este:

$$3 + 9 = 12~\text{ore}$$

R: 12 ore

---