C10 - Aproximări ale numerelor iraționale

---

Aproximarea prin lipsă

Definitie 1

Aproximarea prin lipsă a unui număr real la ordinul unităților (zecilor, sutelor, miilor etc.) este cel mai mare număr natural format numai din unități (zecimi, sute, mii etc.) mai mic sau egal cu numărul respectiv.

Exemplu

$$\sqrt{147} = 12{,}12435\ldots$$$$12 < \sqrt{147} < 13$$

Așadar, aproximarea prin lipsă la unități este:

$$\sqrt{147} \approx 12$$

---

Aproximarea prin adaos

Definitie 2

Aproximarea prin adaos a unui număr real la ordinul unităților (zecilor, sutelor, miilor etc.) este cel mai mic număr natural format numai din unități (zecimi, sute, mii etc.) strict mai mare decât numărul respectiv.

Exemplu

$$\sqrt{147} = 12{,}12435\ldots$$$$12 < \sqrt{147} < 13$$

Așadar, aproximarea prin adaos la unități este:

$$\sqrt{147} \approx 13$$

---

Rotunjirea unui număr real

Important

Rotunjirea unui număr real la ordinul unităților (zecilor, sutelor, miilor etc.) este aproximarea prin lipsă sau aproximarea prin adaos, la ordinul considerat, care este cea mai apropiată de numărul respectiv.

Exemplu

$$\sqrt{147} = 12{,}12435\ldots$$

Rotunjirea la unități:

$$\sqrt{147} \approx 12$$

În cazul în care cele două aproximări sunt la fel de apropiate de număr, rotunjirea va fi dată de aproximarea prin adaos.

---

Aproximarea numerelor reale prin fracții zecimale

Important

Regulile pentru aproximarea numerelor reale prin fracții zecimale, la ordinul zecimilor, sutimilor, miimilor etc., se pot formula în mod similar.

---

Exemple

Exemplul 1 — Aproximări prin lipsă la zecimi

$$\sqrt{14} \approx 3{,}7 \quad \text{deoarece} \quad \sqrt{14} = 3{,}74165\ldots$$$$\sqrt{79} \approx 8{,}8 \quad \text{deoarece} \quad \sqrt{79} = 8{,}88819\ldots$$

---

Exemplul 2 — Aproximări prin adaos la zecimi

$$\sqrt{14} \approx 3{,}8 \quad \text{deoarece} \quad \sqrt{14} = 3{,}74165\ldots$$$$\sqrt{79} \approx 8{,}9 \quad \text{deoarece} \quad \sqrt{79} = 8{,}88819\ldots$$

---

Tabelul 1

Completăm tabelul de mai jos referitor la numărul real $\sqrt{2}$.

$$\sqrt{2} = 1{,}414213\ldots$$

Ordinul aproximării	Aproximare prin lipsă	Aproximare prin adaos	Rotunjire
La unități	1	2	1
La zecimi	1,4	1,5	1,4
La sutimi	1,41	1,42	1,41

---

Tabelul 2

Completăm tabelul de mai jos referitor la numărul real $\sqrt{76}$.

$$\sqrt{76} = 8{,}717797\ldots$$

Ordinul aproximării	Aproximare prin lipsă	Aproximare prin adaos	Rotunjire
La unități	8	9	9
La zecimi	8,7	8,8	8,7
La sutimi	8,71	8,72	8,72