C5 - Mulțimea nr. reale (1)

---

Incluziune

De Retinut

$$\Large \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

• Notăm $\mathbb{N}$ mulțimea numerelor întregi naturale: $\mathbb{N} = \{0;1;2;3;\dots\}$.

• Notăm $\mathbb{Z}$ mulțimea numerelor întregi: $\mathbb{Z} = \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$.

• Notăm $\mathbb{Q}$ mulțimea numerelor raționale: adică numerele care se scriu sub forma $\dfrac{p}{q}$, cu $p\in\mathbb{Z}$ și $q\in\mathbb{Z}^*$.

• Notăm $\mathbb{R}$ mulțimea numerelor reale, adică mulțimea tuturor numerelor.

Observație: toate numerele zecimale sunt raționale, deci mulțimea numerelor zecimale este inclusă în $\mathbb{Q}$.

Notăm $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ mulțimea numerelor iraționale, acele numere care, scrise zecimal, au o infinitate de cifre în dreapta virgulei care nu se repeta periodic.

Notăm $\mathbb{N}^*$ mulțimea numerelor naturale nenule.

---

Cea mai mică mulțime

DEFINIȚIE

Dacă un număr $x$ aparține unei mulțimi $A$, scriem: $x\in A$.

Dacă un număr $x$ nu aparține unei mulțimi $A$, scriem: $x\notin A$.

Vom desemna prin „cea mai mică mulțime” a unui număr acea mulțime din ierarhia mulțimilor numerelor din care face parte, începând cel puțin de la mulțimea $\mathbb{Q}$ — deoarece orice număr zecimal este rațional.

Exemplu:
Cea mai mică mulțime a numărului $\dfrac{51}{5}$ este $\mathbb{Q}$ (nu este întreg). Scriem:

$$\dfrac{51}{5}\in\mathbb{Q}.$$

---

Proprietatea lui radical din 2

$\sqrt{2}\ \text{nu este rațional.}$

Demonstrație.
Presupunem, prin reducere la absurd, că $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ cu $p,q\in\mathbb{Z}$, $q\neq 0$, iar fracția este ireductibilă (adică $p$ și $q$ nu au divizori comuni $>1$).
Atunci:

$$2q^2 = p^2.$$

Din egalitate rezultă că $p^2$ este par, deci $p$ este par: există $k\in\mathbb{Z}$ cu $p=2k$. Înlocuind:

$$2q^2 = (2k)^2 \implies q^2 = 2k^2.$$

Deci $q^2$ este par, ceea ce implică și că $q$ este par. Astfel $p$ și $q$ sunt amândoi pari, deci au factorul $2$ în comun, contrazicând ipoteza de ireductibilitate.
Contradicția arată că presupunerea inițială este falsă; deci

$$\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}.$$

---