C3 – Calcul cu radicali și proprietăți

---

Noțiuni

De reținut

Pentru orice număr real $a \ge 0$ și număr natural $n \ge 2$, rădăcina n-a a lui $a$ este numărul pozitiv $b$ astfel încât:

$$b^n = a.$$

Se notează cu:

$$\sqrt[n]{a}.$$

Caz particular:
$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$ se numește rădăcină pătrată.

---

Tabel de valori

Valori importante ale radicalilor

Număr	Rădăcină pătrată	Rădăcină cubică
$4$	$2$	—
$9$	$3$	—
$16$	$4$	—
$27$	—	$3$
$64$	$8$	$4$

---

Aplicații curs

1 – Operații cu radicali

Cerință

Simplificați:

$$\sqrt{50}.$$

Rezolvare:

Descompunem 50 în factori primi:

$$50 = 25 \times 2.$$

Extragem pătratul perfect:

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25}\times\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.$$

---

Alte reguli utile:

• Produs:

$$\sqrt{a}\times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}.$$

• Raport:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}.$$

• Putere:

$$\sqrt{a^2} = |a|.$$

---

2 – Exerciții suplimentare

Cerință

Simplificați radicalii folosind descompunerea în factori primi.

Exemple

1. $\sqrt{72} = \sqrt{36\times 2} = 6\sqrt{2}$
2. $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = 3\sqrt[3]{2}$

---

Conform descompunerii în factori primi

Pentru orice $a\ge0$:

$$\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{p_1^{k_1}\cdots p_m^{k_m}} = \prod p_i^{\lfloor k_i/n\rfloor}\times \sqrt[n]{p_i^{k_i\bmod n}}.$$

Conform regulilor de calcul cu puteri

Pentru $a\ge0$:

$$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}.$$

Astfel:

$$\sqrt{a} = a^{1/2},\qquad \sqrt[3]{a} = a^{1/3}.$$

---