C9 - Ecuația x² = a

Cazuri

Pentru $a > 0$ , ecuația $x^2 = a$ are două soluții distincte:

x = \sqrt{a} \quad \text{sau} \quad x = -\sqrt{a}

Pentru $a = 0$ , ecuația $x^2 = a$ admite soluția:

x = 0

Pentru $a < 0$ , ecuația $x^2 = a$ nu are soluții reale.

Important

Multe dintre ecuații sunt prezentate într-o altă formă, dar prin transformări echivalente, putem obține ecuații de forma $x^2 = a$ .

Aceste transformări se obțin, ca și în cazul altor ecuații studiate anterior, dacă:

Exemplul 1

x^2 = 36 \Rightarrow x = \sqrt{36} \text{ sau } x = -\sqrt{36}

x = 6 \text{ sau } x = -6

S = \{-6, 6\}

Exemplul 2

x^2 = 32 \Rightarrow x = \sqrt{32} \text{ sau } x = -\sqrt{32}

x = 4\sqrt{2} \text{ sau } x = -4\sqrt{2}

S = \{-4\sqrt{2}, 4\sqrt{2}\}

Exemplul 3

7x^2 - 1 = 27

Adunăm 1 la ambii membri:

7x^2 = 28

Împărțim prin 7:

x^2 = 4 \Rightarrow S = \{-2, 2\}

Exemplul 4

\frac{x}{12} = \frac{4}{x}

Înmulțim cu $x$ și cu 12:

x^2 = 48

x = \sqrt{48} \text{ sau } x = -\sqrt{48}

x = 4\sqrt{3} \text{ sau } x = -4\sqrt{3}

S = \{-4\sqrt{3}, 4\sqrt{3}\}

Exemplul 5

6x^2 + 1 = 3x^2 - 5

Separăm termenii:

6x^2 - 3x^2 = -5 - 1

3x^2 = -6 \Rightarrow x^2 = -2

Deoarece $-2 < 0$ , rezultă:

S = \varnothing

Exemplul 6

(x - 7)^2 = 49

Rezolvăm:

x - 7 = \sqrt{49} \text{ sau } x - 7 = -\sqrt{49}

x - 7 = 7 \text{ sau } x - 7 = -7

x = 14 \text{ sau } x = 0

S = \{0, 14\}

Exemplul 7

\frac{2}{5} \cdot x^2 - 39 = 1

Adunăm 39:

\frac{2}{5} \cdot x^2 = 40

Împărțim la $\dfrac{2}{5}$ :

x^2 = 100

Rezultă:

S = \{-10, 10\}