G3 - Patrulaterul convex

---

Introducere

Important

• Patru puncte, oricare trei necoliniare, determină un patrulater.

• Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ se numesc vârfurile patrulaterului.

• Segmentele $AB$, $BC$, $CD$ și $DA$ se numesc laturile patrulaterului.

• Dreptele care includ laturile patrulaterului se vor numi drepte suport ale laturilor patrulaterului.

---

Patrulater convex și patrulater concav

Definitie

Un patrulater este convex dacă, pentru oricare dintre laturi, două vârfuri ale patrulaterului se află de aceeași parte a dreptei sale suport.
În caz contrar, patrulaterul este concav.

Ordinea vârfurilor în numirea patrulaterului este de mare importanță:
când numim un patrulater, enumerăm vârfurile circular.

Patrulater Convex

---

Patrulater Concav

---

Elemente ale patrulaterului

Proprietăți

În figura alăturată avem patrulaterul $ABCD$ cu elementele:

• Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt vârfurile patrulaterului.

  • Vârfurile $A$ și $B$, de exemplu, sunt vârfuri vecine.
  • Vârfurile $A$ și $C$, de exemplu, sunt vârfuri opuse.

• Patrulaterul $ABCD$ are laturile: $AB$, $BC$, $CD$ și $DA$.

  • Laturile $AB$ și $CD$, de exemplu, sunt laturi opuse.
  • Laturile $AB$ și $BC$, de exemplu, sunt laturi alăturate (au un punct comun).

• Două vârfuri opuse ale unui patrulater convex determină o diagonală:
  segmentele $AC$ și $BD$ sunt diagonalele patrulaterului $ABCD$.

• Oricare două laturi alăturate ale unui patrulater convex formează câte un unghi.
  Unghiurile patrulaterului $ABCD$ sunt:
  $\measuredangle DAB$, $\measuredangle ABC$, $\measuredangle BCD$ și $\measuredangle CDA$.
  Dacă nu este pericol de confuzie, se pot nota cu $\measuredangle A$, $\measuredangle B$, $\measuredangle C$, $\measuredangle D$.

  • $\measuredangle A$ și $\measuredangle B$, de exemplu, sunt unghiuri alăturate.
  • $\measuredangle A$ și $\measuredangle C$, de exemplu, sunt unghiuri opuse.

• Partea comună a interioarelor a două unghiuri opuse formează interiorul patrulaterului convex.

---

Teoremă

De retinut

Suma măsurilor unghiurilor interioare ale unui patrulater convex este $360^\circ$.

$$m\measuredangle A + m\measuredangle B + m\measuredangle C + m\measuredangle D = 360^\circ$$

---

Aplicații

Aplicația 1

cerințǎ

Se consideră patrulaterul de alături cu măsurile unghiurilor $\measuredangle B$, $\measuredangle C$, $\measuredangle D$ date în figură.
Vom determina măsura unghiului $A$.

Rezolvare:

$$m\measuredangle A + m\measuredangle B + m\measuredangle C + m\measuredangle D = 360^\circ$$ $$m\measuredangle A = 360^\circ - (85^\circ + 110^\circ + 44^\circ) = 360^\circ - 239^\circ = 121^\circ$$

---

Aplicația 2

cerințǎ

Se consideră patrulaterul de alături cu măsurile unghiurilor notate în figură,
$x$ – număr rațional pozitiv.
Vom determina valoarea lui $x$ și măsurile unghiurilor $\measuredangle B$, $\measuredangle C$, $\measuredangle D$.

Rezolvare:

$$m\measuredangle A + m\measuredangle B + m\measuredangle C + m\measuredangle D = 360^\circ$$

Înlocuim:

$$80^\circ + (3x^\circ + 10^\circ) + (2x^\circ) + (x^\circ + 30^\circ) = 360^\circ$$ $$6x^\circ + 120^\circ = 360^\circ$$ $$6x^\circ = 240^\circ \Rightarrow x^\circ = 40^\circ$$ $$m\measuredangle B = 3 \cdot 40^\circ + 10^\circ = 130^\circ$$ $$m\measuredangle C = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$$ $$m\measuredangle D = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ$$

---