C6 – Modulul, compararea și ordonarea numerelor reale

---

Definiția modulului unui număr real

DEFINIȚIE

Modulul (sau valoarea absolută) a unui număr real $a$, notat $|a|$, este distanța de la numărul $a$ la zero pe axa numerelor reale.

Pentru orice număr real $a$:

• Dacă $a \ge 0$, atunci $|a| = a$

• Dacă $a < 0$, atunci $|a| = -a$

Exemple:

$$|5| = 5$$ $$|-3| = -(-3) = 3$$ $$|0| = 0$$ $$\left|\dfrac{2}{3}\right| = \dfrac{2}{3}$$ $$\left|-\dfrac{4}{5}\right| = -\left(-\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{4}{5}$$

---

Proprietățile modulului

PROPRIETĂȚI IMPORTANTE

1. $|a| \ge 0$ pentru orice $a\in\mathbb{R}$

2. $|a| = 0$ dacă și numai dacă $a = 0$

3. $|a\cdot b| = |a| \cdot |b|$

4. $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$ pentru $b\neq 0$

5. $|a + b| \le |a| + |b|$ (inegalitatea triunghiului)

Exemple de aplicare a proprietăților:

$$|3\cdot(-4)| = |3|\cdot|-4| = 3\cdot4 = 12$$ $$\left|-\dfrac{5}{2}\right| = \dfrac{|5|}{|2|} = \dfrac{5}{2}$$ $$|7 + (-2)| = |5| \le |7| + |-2| = 7 + 2 = 9$$

---

Compararea numerelor reale

COMPARAREA NUMERELOR REALE

Două numere reale $a$ și $b$ se compară astfel:

• $a > b$ dacă $a - b > 0$

• $a < b$ dacă $a - b < 0$

• $a = b$ dacă $a - b = 0$

Pentru numere pozitive și negative, folosim axa numerelor pentru vizualizare.

Exemple de comparație:

• $5 > -3$ deoarece $5$ este la dreapta lui $-3$ pe axa numerelor

• $-2 < 4$ deoarece $-2$ este la stânga lui $4$

• $\dfrac{3}{4} > \dfrac{1}{2}$ deoarece $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}>0$

---

Ordonarea numerelor reale

ORDONAREA PE AXA NUMERELOR

Numerele reale pot fi ordonate crescător sau descrescător pe axa numerelor.

Pentru a ordona mai multe numere:

1. Plasează numerele pe axa numerelor.
2. Citește de la stânga la dreapta pentru ordine crescătoare.
3. Citește de la dreapta la stânga pentru ordine descrescătoare.

Exemplu de ordonare

Ordonează crescător numerele: $-2.5,\; 0,\; \dfrac{3}{2},\; -1,\; 4$

Pe axa numerelor:

• $-2.5$ (cel mai la stânga)
• $-1$
• $0$
• $\dfrac{3}{2}=1.5$
• $4$ (cel mai la dreapta)

Ordine crescătoare:

$$-2.5,\; -1,\; 0,\; 1.5,\; 4$$

Ordine descrescătoare:

$$4,\; 1.5,\; 0,\; -1,\; -2.5$$

---