C5 - Mulțimea nr. reale (2)

---

Mai multe scrieri pentru același număr

Un număr real poate fi reprezentat în mai multe feluri. De exemplu:

$$\dfrac{51}{5} = 5,1 = \dfrac{10,2}{2} = 1,02 \cdot 10^1$$

sau:

$$\dfrac{4}{3} = 1,33\ldots$$

Indiferent de scriere, este același număr.

Important

Observații:

• $\dfrac{51}{5}$ nu este doar rațional; este și real.

• $\sqrt{9}$ nu este doar real; este și un întreg natural, deoarece $\sqrt{9}=3$.

Aceste proprietăți sunt ale numărului în sine, nu ale scrierii sale.

---

De Retinut

Dacă o mulțime este urmată de o steluță la exponent, ea conține toate elementele mulțimii în afară de $0$.
De exemplu:

$$\mathbb{N}^* = \{1,2,3,\dots\}.$$

---

Incluziunea a două mulțimi oarecare

DEFINIȚIE

Fie $A$ și $B$ două mulțimi. Spunem că $A$ este inclusă în $B$ și notăm $A\subset B$ dacă toate elementele din $A$ sunt în $B$.

Dacă vrem să eliminăm unul sau mai multe numere dintr-o mulțime, scriem operația de diferență: $A\setminus\{x,\dots\}$.

Exemple:

• $\mathbb{Q}\setminus\left\{\dfrac{1}{3}\right\}$ desemnează mulțimea numerelor raționale fără $\dfrac{1}{3}$.

• $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ este mulțimea numerelor reale din care au fost eliminate toate numerele raționale; această mulțime este numită mulțimea iraționalelor.

---

Mulțimea vidă

DE REȚINUT

Există o mulțime fără elemente, numită mulțimea vidă, notată:

$$\Large \varnothing$$

---

Paritate

DEFINIȚIE

Multiplii lui 2 sunt numere întregi pare. Celelalte numere întregi sunt impare.

Cu alte cuvinte:

• numerele întregi pare au forma $2n$, cu $n\in\mathbb{Z}$;
• numerele întregi impare au forma $2n+1$.

---

Proprietatea 1

• Pătratul unui număr întreg par este par.
• Pătratul unui număr întreg impar este impar.

Proprietatea 2

Fie $z$ un întreg.

• Dacă $z^2$ este par, atunci $z$ este par.
• Dacă $z^2$ este impar, atunci $z$ este impar.

---