C2 – Reguli de calcul cu puteri

---

Noțiuni de bază

Definiție 1

Puterea de exponent $x$ a unui număr $a$, numit bază, este operația:

• dacă $x$ este număr natural:

$$a^x = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{x\ \text{factori}}$$

Definiție 2

Dacă $x$ este număr negativ, atunci

$$a^{x} = \frac{1}{a^{-x}}$$

adică ridicarea la o putere negativă corespunde inversului puterii pozitive.

Ne reamintim – Opusul și inversul unui număr

• Opusul lui $a$ este $-a$.
• Inversul lui $a$ (cu $a\neq 0$) este $\dfrac{1}{a}$.

---

Reguli fundamentale

Foarte important

În calculele cu puteri este esențială baza comună atunci când aplicăm regulile de mai jos.

R1. Înmulțirea a două puteri cu aceeași bază

Pentru $a\neq 0$ și $m,n\in\mathbb Z$:

$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

Exemplu
$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$

---

R2. Împărțirea a două puteri cu aceeași bază

Pentru $a\neq 0$:

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

Exemplu
$\dfrac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4$

---

R3. Puterea unui număr ridicat la putere

Pentru $a\neq 0$:

$$\bigl(a^m\bigr)^n = a^{m \times n}$$

Exemplu
$(3^2)^4 = 3^{2\times 4} = 3^8$

---

R4. Puterea unui produs

Pentru numere $a,b$:

$$(a \times b)^n = a^n \times b^n$$

Exemplu
$(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1\,000$

---

R5. Ridicarea la putere negativă

Pentru $a\neq 0$:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

---

R5.1. Un număr înmulțit cu o putere negativă

Pentru $k\in\mathbb R$:

$$k \times a^{-n} = \frac{k}{a^n}$$

Exemplu
$3 \times 2^{-4} = \dfrac{3}{2^4} = \dfrac{3}{16}$

Notă generală

Aceste reguli rămân valabile și pentru exponenți negativi, cu condiția ca baza $a$ să fie nenulă.

---

R6. Puterea unui raport

Pentru $a,b\neq 0$:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

Exemplu
$\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{3^2}{5^2} = \dfrac{9}{25}$

---