C6.2 - Scrierea si citirea nr. naturale

---

Ne reamintim

Scrierea cu cifre arabe

cerințǎ

Să se scrie cu cifre arabe:

a) o mie șapte = $1\,007$

zeci de milioane	milioane	sute de mii	zeci de mii	mii	sute	zeci	unități
-	-	-	-	1	0	0	7

b) șapte milioane treizeci de mii paisprezece = $7\,030\,014$

zeci de milioane	milioane	sute de mii	zeci de mii	mii	sute	zeci	unități
-	7	0	3	0	0	1	4

---

Scrierea cu cifre romane

Simbol	Valoare
I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

cerințǎ

Să se scrie cu cifre romane:

a) 12

Răspuns: $XII$

b) 24

Răspuns: $XXIV$

c) 78

Răspuns: $LXXVIII$

---

Descompunerea unui nr. natural

Definiție

Un număr natural având cifre necunoscute se scrie sub forma generală:

$$\Large \overline{abc\ldots z}$$

unde fiecare cifră reprezintă ordinul.

Exemplu:
$\overline{ab}$ este un număr format din două cifre, unde

$$\begin{cases} a - \text{cifra zecilor}\\ b - \text{cifra unităților} \end{cases}$$

Orice număr scris sub această formă se poate descompune astfel:

$$\Large \underbrace{\overline{abcd}}_{\text{4 cifre}} = \underbrace{a \times 1000}_{\text{ordinul miilor}} + \underbrace{b \times 100}_{\text{ordinul sutelor}} + \underbrace{c \times 10}_{\text{ordinul zecilor}} + \underbrace{d \times 1}_{\text{ordinul unităților}}$$

Metode

1. Să se afle cifrele $a,b,c$ dacă:

a) $459 = a \times 100 + b \times 10 + 9$

mii	sute	zeci	unități
–	4	5	9
–	a	b	9

$\begin{cases} a = 4\\[10pt] b = 5 \end{cases}$

$\Rightarrow 4 \times 100 + 5 \times 10 + 9 = 400 + 50 + 9 = 450 + 9 = 459$

---

b) $1024 = a \times 1000 + b \times 100 + c \times 10 + 4$

mii	sute	zeci	unități
1	0	2	4
a	b	c	4

$\begin{cases} a = 1\\ b = 0\\ c = 2 \end{cases}$

$\Rightarrow 1 \times 1000 + 0 \times 100 + 2 \times 10 + 4 = 1000 + 0 + 20 + 4 = 1020 + 4 = 1024$

---

2. Găsește toate numerele $x$ în următoarele cazuri:

a) $x = \overline{1ab}$, cu $a = 3 \times b$

METODA I:

Pasul I: Descompun numărul $x$:

$x = 100 + a \times 10 + b$

$x = 100 + 3 \times b \times 10 + b$

$x = 100 + 30 \times b + b$

OBSERVAȚIE

Orice cifră este cuprinsă între 0 și 9.

$\Rightarrow a \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$\Rightarrow b \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

Cum $a \times 10 = b \times 30$ reprezintă ordinul zecilor:

• Când $\large b = 0 \Rightarrow b \times 30 = 0 \Rightarrow$ ordinul zecilor $=0$

• Când $\large b \neq 0 \Rightarrow b \times 30 \in \{10;11;12;13;14\dots 99\}$

Pasul II: Încercăm valori

1. Dacă $b = 0 \Rightarrow x = 100 + 30 \times 0 + 0 = 100$

• Este o soluție bună, deoarece satisface condițiile de mai sus:

$b = 0 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$a = 3 \times b = 3 \times 0 = 0 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$b \times 30 = 0 \times 30 = 0 \Rightarrow \text{ordinul zecilor } = 0$

---

2. Dacă $b = 1 \Rightarrow x = 100 + 30 \times 1 + 1 = 131$

• Este o soluție bună, deoarece satisface condițiile de mai sus:

$b = 1 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$a = 3 \times b = 3 \times 1 = 3 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$b \times 30 = 1 \times 30 = 30 \in \{10;11;12;13;14\dots 99\}$

---

3. Dacă $b = 2 \Rightarrow x = 100 + 30 \times 2 + 2 = 162$

• Este o soluție bună, deoarece satisface condițiile de mai sus:

$b = 2 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$a = 3 \times b = 3 \times 2 = 6 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$b \times 30 = 2 \times 30 = 60 \in \{10;11;12;13;14\dots 99\}$

---

4. Dacă $b = 3 \Rightarrow x = 100 + 30 \times 3 + 3 = 193$

• Este o soluție bună, deoarece satisface condițiile de mai sus:

$b = 3 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$a = 3 \times b = 3 \times 3 = 9 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$b \times 30 = 3 \times 30 = 90 \in \{10;11;12;13;14\dots 99\}$

---

5. Dacă $b = 4 \Rightarrow x = 100 + 30 \times 4 + 4 = 224$

• NU este o soluție bună, deoarece NU satisface TOATE condițiile de mai sus:

$b = 4 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$ SATISFACE

$a = 3 \times b = 3 \times 4 = 12 \notin \{0;1;2;3;4\dots 9\}$ NU SATISFACE

$b \times 30 = 4 \times 30 = 120 \notin \{10;11;12;13;14\dots 99\}$ NU SATISFACE

---

RĂSPUNS FINAL:

$$\Large x \in \{100;\;131;\;162;\;193\}$$

---

b) $x = \overline{ab2a}$, cu $b = a + 4$

Metoda II

Pasul I: Descompun numărul $x$:

$x = a \times 1000 + b \times 100 + 20 + a$

OBSERVAȚIE

Orice cifră este cuprinsă între 0 și 9.

$\large \Rightarrow a \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$\large \Rightarrow b \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

---

Cum $b \times 100$ reprezintă ordinul sutelor:

• Când $\large b = 0 \Rightarrow b \times 100 = 0 \Rightarrow$ ordinul sutelor $= 0$
• Când $\large b \neq 0 \Rightarrow b \times 100 \in \{100;101;102;103;104\dots 999\}$

---

Cum $a \times 1000$ reprezintă ordinul miilor:

• Când $\large a = 0 \Rightarrow a \times 1000 = 0 \Rightarrow$ ordinul miilor $= 0$
• Când $\large a \neq 0 \Rightarrow a \times 1000 \in \{1000;1001;1002;1003;1004\dots 9999\}$

Pasul II: Încercăm valori

1. Dacă $a = 0 \Rightarrow b = a + 4 = 0 + 4 = 4 \Rightarrow x = 0420$

OBSERVAȚIE

Deși valoarea $a = 0$ respectă condițiile de mai sus, numărul format $x = 0420$ nu este o soluție bună, deoarece un număr cu 2 sau mai multe cifre nu poate să înceapă cu cifra $0$.

Cum prima cifră a numărului $\overline{ab2a}$ este cifra „a” și este necunoscută, se impune condiția:

$$a \neq 0 \Rightarrow a \in \{1;2;3;4\dots 9\}$$

$\Rightarrow$ ordinul miilor nu poate să fie 0

• NU este o soluție bună, deoarece NU satisface condiția de mai sus.

---

2. Dacă $a = 1 \Rightarrow b = 1 + 4 = 5 \Rightarrow x = 1521$

• Este o soluție bună, deoarece satisface condițiile de mai sus:

$a \in \{1;2;3;4\dots 9\}$

$b \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$b \times 100 = 5 \times 100 = 500 \in \{100;101;102;103;104\dots 999\}$

---

3. Dacă $a = 2 \Rightarrow b = 2 + 4 = 6 \Rightarrow x = 2622$

• Este o soluție bună, deoarece satisface condițiile de mai sus:

$a = 2 \in \{1;2;3;4\dots 9\}$

$a \times 1000 = 2 \times 1000 = 2000 \in \{1000;1001;1002;1003;1004\dots 9999\}$

$b = 6 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$b \times 100 = 6 \times 100 = 600 \in \{100;101;102;103;104\dots 999\}$

---

4. Dacă $a = 3 \Rightarrow b = 3 + 4 = 7 \Rightarrow x = 3723$

• Este o soluție bună, deoarece satisface condițiile de mai sus:

$a = 3 \in \{1;2;3;4\dots 9\}$

$a \times 1000 = 3 \times 1000 = 3000 \in \{1000;1001;1002;1003;1004\dots 9999\}$

$b = 7 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$b \times 100 = 7 \times 100 = 700 \in \{100;101;102;103;104\dots 999\}$

---

5. Dacă $a = 4 \Rightarrow b = 4 + 4 = 8 \Rightarrow x = 4824$

• Este o soluție bună, deoarece satisface condițiile de mai sus:

$a = 4 \in \{1;2;3;4\dots 9\}$

$a \times 1000 = 4 \times 1000 = 4000 \in \{1000;1001;1002;1003;1004\dots 9999\}$

$b = 8 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$b \times 100 = 8 \times 100 = 800 \in \{100;101;102;103;104\dots 999\}$

---

6. Dacă $a = 5 \Rightarrow b = 5 + 4 = 9 \Rightarrow x = 5925$

• Este o soluție bună, deoarece satisface condițiile de mai sus:

$a = 5 \in \{1;2;3;4\dots 9\}$

$a \times 1000 = 5 \times 1000 = 5000 \in \{1000;1001;1002;1003;1004\dots 9999\}$

$b = 9 \in \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

$b \times 100 = 9 \times 100 = 900 \in \{100;101;102;103;104\dots 999\}$

---

7. Dacă $a = 6 \Rightarrow b = 6 + 4 = 10$

• NU este o soluție bună, deoarece:

$b = 10 \notin \{0;1;2;3;4\dots 9\}$

---

RĂSPUNS FINAL:

$$\Large x \in \{1521;\;2622;\;3723;\;4824;\;5925\}$$