C4.3 - Grup ciclic

---

Cine a fost Arthur Cayley?

Arthur Cayley a fost un matematician britanic născut în $1821$ și mort în $1895$. Cayley a revoluționat teoria grupurilor prin introducerea conceptului de grup abstract și a tabelelor de permutări care îi poartă numele, deschizând totodată drumul către înțelegerea spațiilor geometrice multidimensionale și neeuclidiene.

Ceasul cu douăsprezece numere

Introducere

Să ne oprim asupra unei împărțiri euclidiene foarte răspândite în viața de zi cu zi: cea la $12$. După teorema împărțirii euclidiene, restul unei împărțiri la $12$ este cuprins între $0$ și $11$. Aceste douăsprezece resturi posibile pot fi apropiate de cele douăsprezece gradații de pe cadranul unui ceas obișnuit:

Algoritm

Să pornim de la $0$ și să ne întrebăm unde se află fiecare număr natural. Pentru $7$ răspunsul este banal: se află pe cifra $7$. La fel stau lucrurile pentru toate numerele naturale cuprinse între $0$ și $11$. Dar cu $14$ cum rămâne? Ca să aflăm, efectuăm împărțirea euclidiană a lui $14$ la $12$:

Aceasta ne spune că $14$ se găsește în același loc cu $2$ pe ceasul nostru.

Exemplu: iată câteva corespondențe între numerele noastre naturale și cele de pe ceas

Număr natural	Împărțirea euclidiană	Corespondent pe ceas
$17$	$\begin{cases} 17 = 12 \cdot 1 + 5 \\ 0 \leq 5 < 12 \end{cases}$	$5$
$33$	$\begin{cases} 33 = 12 \cdot 2 + 9 \\ 0 \leq 9 < 12 \end{cases}$	$9$
$42$	$\begin{cases} 42 = 12 \cdot 3 + 6 \\ 0 \leq 6 < 12 \end{cases}$	$6$
$88$	$\begin{cases} 88 = 12 \cdot 7 + 4 \\ 0 \leq 4 < 12 \end{cases}$	$4$

---

Observații

1. După teorema împărțirii euclidiene, oricărui număr natural îi este asociat un unic număr natural cuprins între $0$ și $11$. Astfel, împărțirea euclidiană a lui $2\,023$ la $12$ ne dă corespondentul lui $2\,023$ pe ceas:

2. Să facem puțină aritmetică pe acest ceas. Să presupunem că suntem pe $4$ și adunăm $5$. Atunci, cât se poate de firesc, ajungem la $9$. Dar dacă am fi adunat $10$, am fi ajuns la… $2$!

   De asemenea, dacă adunăm $7$ la $5$, ajungem la $0$. Altfel spus, $7$ poate fi văzut ca „opusul" lui $5$ pe acest ceas.

   În sfârșit, a aduna $0$ la oricare număr natural de pe acest ceas ne lasă pe acel număr.

3. Acest ceas poartă un nume în matematică: grupul ciclic cu douăsprezece elemente. Putem studia și sintetiza diferitele adunări pe care le putem efectua pe acest ceas.

---

Graful lui Cayley

---

Tabelul lui Cayley

$+$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	0
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	0	1
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	0	1	2
4	4	5	6	7	8	9	10	11	0	1	2	3
5	5	6	7	8	9	10	11	0	1	2	3	4
6	6	7	8	9	10	11	0	1	2	3	4	5
7	7	8	9	10	11	0	1	2	3	4	5	6
8	8	9	10	11	0	1	2	3	4	5	6	7
9	9	10	11	0	1	2	3	4	5	6	7	8
10	10	11	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
11	11	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

---