C11 - Compararea nr. ridicate la o putere și pătratul perfect

---

De retinut

Numărul natural $a$ se numește baza puterii, iar numărul natural $n$ se numește exponentul.

Exemple

$$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$$ $$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$$

Dacă $a \ne 0$, atunci:

$$a^0 = 1 \quad \text{și} \quad a^1 = a$$

Exemple:

$$5^0 = 1, \quad 5^1 = 5$$

De retinut

Observație: Operația $0^0$ nu este definită.

Proprietati

Operația prin care calculăm o putere se numește ridicare la putere sau exponentiere.

Ridicarea la putere este o operație de ordinul al treilea, de aceea se efectuează înaintea adunărilor, scăderilor, înmulțirilor și împărțirilor.

Dacă în exercițiu apar paranteze, se efectuează mai întâi operațiile din parantezele rotunde, apoi cele din parantezele pătrate, iar la final cele din parantezele acolade.

Exemple

$1)$

$6^2 : 3 - 9^0 + 2^5 =$

Se efectuează ridicările la putere:
$6^2 = 6 \cdot 6 = 36$, $9^0 = 1$, $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

Înlocuim rezultatele în exercițiu:
$36 : 3 - 1 + 32 = 12 - 1 + 32 = 43$

---

$2)$

$[(3^2 + 3^0)^3 - 125 \cdot 2^3] \cdot 12^3 =$

Se efectuează operațiile din parantezele rotunde:
$3^2 + 3^0 = 9 + 1 = 10$

Deci:

$$[10^3 - 125 \cdot 2^3] \cdot 12^3 = [1000 - 125 \cdot 8] \cdot 12^3 = [1000 - 1000] \cdot 12^3 = 0 \cdot 12^3 = 0$$

---

Compararea puterilor

Puteri cu aceeași bază

Proprietate

Dintre două puteri cu aceeași bază, este mai mare cea cu exponentul mai mare.

Exemplu:
$5^{10} < 5^{12}$, deoarece $10 < 12$.

---

Puteri cu același exponent

Proprietate

Dintre două puteri cu același exponent, este mai mare cea cu baza mai mare.

Exemplu:
$3^{18} > 3^{10}$, deoarece $18 > 10$.

---

Puteri cu baze și exponenți diferiți

Proprietate

Dacă bazele și exponenții sunt diferiți, se încearcă aducerea lor la aceeași bază sau la același exponent (folosind regulile de calcul), apoi se compară.

Exemplu:

$32^4 > 16^{3}$, deoarece $16^{3} = (2^4)^{3} = 2^{12}$ și $32^4 = (2^5)^4 = 2^{20}$; iar $2^{20} > 2^{12}$.

Observație

Pentru numere mai mici, se pot calcula efectiv puterile și apoi compara rezultatele.

---

Pătrat perfect

Definitie

Un număr natural $p$ se numește număr pătrat sau pătrat perfect, dacă se poate scrie sub forma:

$$p = a^2$$

Exemple:
$36$ este un număr pătrat, deoarece se poate scrie $36 = 6^2$.
$100$ este un număr pătrat, deoarece se poate scrie $100 = 10^2$.

De reținut

Numerele pătrate până la 100 sunt:

$$0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$$

Observație:
Ultima cifră a unui număr pătrat poate fi doar 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.

---