C8 - Proprietăți ale înmulțirii

---

Esențial de reținut

Proprietățile înmulțirii numerelor sunt:

• Comutativitatea: Ordinea factorilor nu schimbă produsul.

  $$a \cdot b = b \cdot a$$

• Asociativitatea: Gruparea factorilor nu schimbă produsul.

  $$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$

• Elementul neutru: Înmulțirea cu 1 nu schimbă numărul.

  $$a \cdot 1 = a$$

• Înmulțirea cu 0: Orice număr înmulțit cu 0 este 0.

  $$a \cdot 0 = 0$$

---

Enunț

Albert ajută cafeteria școlii sale să organizeze o cină comunitară cu spaghete pentru a strânge fonduri.

El are sarcina de a pregăti sosul de spaghete. Rețeta cere $\Large \frac{2}{9}$ kg de carne tocată de vită.

Dacă trebuie să prepare de 18 ori rețeta, ce cantitate de carne trebuie să cumpere?

Reprezentarea grafică

Albert trebuie să cumpere $\Large \frac{12}{9}$ $\cdot \, 3 =$ $\Large \frac{36}{9}$ kg de carne. Transform fracția improprie într-o fracție proprie, ceea ce îmi dă ca rezultat 4 kg de carne.

Utilizând proprietatea asociativității:

18 grupuri de $\Large \frac{2}{9}$

$$\large 18\cdot\frac{2}{9} = 18\cdot(2\cdot\frac{1}{9}) = 36\cdot\frac{1}{9} = \frac{36}{9} = 4$$

---

Enunț

Daniel a folosit paie cu lungimea de 3,4 cm fiecare pentru a construi un pătrat.
Determină perimetrul pătratului.

Estimare: $3,4 \cdot 4$

Perimetrul este în jur de 12 cm, deoarece m-am gândit la $3 + 3 + 3 + 3 = 12$.

Perimetrul este în jur de 12 cm, deoarece m-am gândit la $4 \cdot 3 = 12$.

Reprezentarea pe dreapta numerică

Important

Reprezint mai întâi 4 sărituri de 3 unități pe dreaptă.
Apoi, reprezint zecimile. Reprezint în total 4 sărituri care reprezintă 0,4 fiecare.

$$\textcolor{#7c3aed}{3 + 3 + 3 + 3} \textcolor{#0f766e}{= 12} \\[10pt] \textcolor{#0f766e}{12 +} \textcolor{#7c3aed}{0,4 + 0,4} \textcolor{#0f766e}{= 12,8} \\[10pt] \textcolor{#0f766e}{12,8+} \textcolor{#7c3aed}{0,2} \textcolor{#0f766e}{= 13} \\[10pt] \textcolor{#0f766e}{13 +} \textcolor{#7c3aed}{0,2 + 0,4} \textcolor{#0f766e}{= 13,6} \\[10pt]$$

Perimetrul pătratului este de 13,6 cm.

---

Reprezentarea în bază 10

Important

O latură a pătratului poate fi reprezentată prin 3 pătrate și 4 bețișoare,
deci trasez 4 grupuri de 3 pătrate și 4 grupuri de 4 bețișoare.

Regrupez 10 bețișoare pentru a reprezenta 1 pătrat.
Obțin 13 pătrate și 6 bețișoare, ceea ce reprezintă 13 întregi și 6 zecimi, adică 13,6.

Perimetrul pătratului lui Daniel este de 13,6 cm.

---

Calcul folosind fracții zecimale

$$3,4 + 3,4 + 3,4 + 3,4 = 3\frac{4}{10} + 3\frac{4}{10} + 3\frac{4}{10} + 3\frac{4}{10} \\[10pt] = \textcolor{#0f766e}{3 + 3 + 3 + 3 +} \textcolor{#7c3aed}{\frac{4}{10} + \frac{4}{10} + \frac{4}{10} + \frac{4}{10}} \\[10pt]$$

Calculul se restrânge sub forma:

$$3,4 \cdot 4 = \textcolor{#0f766e}{3} \cdot 4 + \textcolor{#7c3aed}{\frac{4}{10}} \cdot 4\\[10pt] = \textcolor{#0f766e}{12} + \textcolor{#7c3aed}{\frac{4\cdot 4}{10}}\\[10pt] = \textcolor{#0f766e}{12} + \textcolor{#7c3aed}{\frac{16}{10}}\\[10pt] = \textcolor{#0f766e}{12 + 1} \textcolor{#7c3aed}{\frac{6}{10}}\\[10pt] = \textcolor{#0f766e}{13} \textcolor{#7c3aed}{\frac{6}{10}}\\[10pt] = \textcolor{#0f766e}{13} \textcolor{#7c3aed}{,6}\\[10pt]$$

---

Calcul folosind descompunerea zecimalǎ

$$3,4 \cdot 4 = 3,4 + 3,4 + 3,4 + 3,4 \\[10pt] = \textcolor{#0f766e}{3 + 3 + 3 + 3 +} \textcolor{#7c3aed}{0,4 + 0,4 + 0,4 + 0,4} \\[10pt] = \textcolor{#0f766e}{3\cdot 4} + \textcolor{#7c3aed}{0,4\cdot 4} \\[10pt] = \textcolor{#0f766e}{12} + \textcolor{#7c3aed}{1,6} \\[10pt] = \textcolor{#0f766e}{13} \textcolor{#7c3aed}{,6} \\[10pt]$$

---

Enunț

Pentru ziua Verde, toți elevii școlii participă la un marș.
Dacă cei 278 de elevi ai școlii primare merg fiecare câte 0,9 km,
câți kilometri vor parcurge ei în total?

METODA 1 - Înmulțiri folosind regula descompunerii

Estimez că elevii vor parcurge puțin mai puțin de 278 km,
deoarece $278 \cdot 0,9 \approx 278 \cdot 1$.

Efectuez înmulțirea folosind dispoziția dreptunghiulară.
Descompun $278$ în $200 + 70 + 8$ și înmulțesc fiecare termen cu $0,9$.

Adun apoi produsele parțiale pentru a găsi totalul.

200	70	8	x1
180	63	7,2	x0,9

Total: $180 + 63 + 7,2 = 250,2$

Elevii au parcurs 250,2 km în total.

---

METODA 2 - Calculul mental și algoritm

Dacă iau $0,9$ și adaug $0,1$, obțin $1$.
Folosesc acest număr reper pentru a înmulți:
$278 \times 1 = 278$ km.

Cum am adăugat $0,1$ km pentru fiecare elev, trebuie să scad acest surplus.
Calculez câți kilometri înseamnă 0,1 km pentru toți elevii: $278 \times 0,1 = 27,8$.

Scad surplusul: $278 - 27,8 = 250,2$.

Așadar

$$278 \times 0,9 = 250,2.$$

Elevii au parcurs 250,2 km în total.

---

METODA 3 — Descompunerea în factori și asociativitatea

Descompun $0,9$ ca $9 \times 0,1$ pentru a ușura înmulțirea.
Înmulțesc mai întâi $278$ cu $9$, apoi înmulțesc mental rezultatul cu $0,1$.

$$278 \times 0,9 = 278 \times 9 \times 0,1 = 2502 \times 0,1 = 250,2.$$

Elevii au parcurs 250,2 km în total.

---