C12 - Scrierea în baza 10 și baza 2

Atenție

Acest subiect este foarte important și va avea o pondere mare la următoarea evaluare.

---

Definitie 1

Sistemul de numerație folosit cu precădere în practică este sistemul zecimal, adică sistemul cu baza 10.

Baza de numerație este numărul care arată câte unități de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat superior.

Adică, zece unități de un anumit ordin dau o unitate de ordin imediat superior.

Acest sistem utilizează pentru scrierea numerelor cele zece cifre arabe: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9.

Spunem astfel că avem un număr scris în baza 10.

Proprietăți

Proprietate

Orice număr natural se poate scrie ca o sumă de produse în care un factor este de forma $10^n$, cu $n$ număr natural, iar celălalt factor este reprezentat de una dintre cifrele ce formează numărul.

---

Exemple:

1. $135_{(10)} = 1 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 5 = 1 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$

2. $2017_{(10)} = 2 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 7 = 2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0$

de retinut

În general:

$\overline{ab}_{(10)} = a \cdot 10 + b$

$\overline{abc}_{(10)} = a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c$

$\overline{abcd}_{(10)} = a \cdot 10^3 + b \cdot 10^2 + c \cdot 10 + d$

unde $a, b, c, d$ sunt cifre, $a \ne 0$.

Aceasta reprezintă scrierea zecimală sau scrierea în baza 10.

---

Sistemul de numerație binar

Definitie 2

Sistemul de numerație în baza 2 se numește sistem de numerație binar.
În acest caz, folosim numai două cifre: 0 și 1, care se numesc cifre binare.

Spunem astfel că avem un număr scris în baza 2.

Exemple:

1. $101_{(2)} = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 = 5_{(10)}$

2. $1101_{(2)} = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{(10)}$

De retinut

În general:

$\overline{ab}_{(2)} = a \cdot 2^1 + b \cdot 2^0$

$\overline{abc}_{(2)} = a \cdot 2^2 + b \cdot 2^1 + c \cdot 2^0$

$\overline{abcd}_{(2)} = a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2^1 + d \cdot 2^0$

unde $a, b, c, d$ sunt cifre binare, $a \ne 0$.

Aceasta reprezintă scrierea binară sau scrierea în baza 2.

---

Trecerea între baze

1) Trecerea de la baza 10 la baza 2

Trecerea de la baza 10 la baza 2 se face prin împărțiri succesive

Exemplu 1

Să trecem numărul $43_{(10)}$ în baza 2.

$$\begin{align*} 43 : 2 &\rightarrow c = 21,\ r = 1 \\ 21 : 2 &\rightarrow c = 10,\ r = 1 \\ 10 : 2 &\rightarrow c = 5,\ r = 0 \\ 5 : 2 &\rightarrow c = 2,\ r = 1 \\ 2 : 2 &\rightarrow c = 1,\ r = 0 \\ 1 : 2 &\rightarrow c = 0,\ r = 1 \end{align*}$$

Mă opresc atunci când obțin câtul 0.

Numărul obținut prin scrierea resturilor în ordine inversă (de jos în sus) reprezintă scrierea numărului $43$ din baza 10 în baza 2:

$$43_{(10)} = 101011_{(2)}$$

---

2) Trecerea de la baza 2 la baza 10

Trecerea de la baza 2 la baza 10 se face folosind scrierea binară și efectuând calculele.

definitie

Exemplu

Să trecem numărul $101011_{(2)}$ în baza 10:

$$1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 8 + 2 + 1 = 43_{(10)}$$

---

Aplicații rezolvate

1. Scrie în baza 2 următoarele numere:

a) $36_{(10)}$
b) $124_{(10)}$

Rezolvare:

a)

$$\begin{align*} 36 : 2 &\rightarrow c = 18,\ r = 0 \\ 18 : 2 &\rightarrow c = 9,\ r = 0 \\ 9 : 2 &\rightarrow c = 4,\ r = 1 \\ 4 : 2 &\rightarrow c = 2,\ r = 0 \\ 2 : 2 &\rightarrow c = 1,\ r = 0 \\ 1 : 2 &\rightarrow c = 0,\ r = 1 \end{align*}$$

Mă opresc atunci când obțin câtul 0.

$$36_{(10)} = 100100_{(2)}$$

b)

$$\begin{align*} 124 : 2 &\rightarrow c = 62,\ r = 0 \\ 62 : 2 &\rightarrow c = 31,\ r = 0 \\ 31 : 2 &\rightarrow c = 15,\ r = 1 \\ 15 : 2 &\rightarrow c = 7,\ r = 1 \\ 7 : 2 &\rightarrow c = 3,\ r = 1 \\ 3 : 2 &\rightarrow c = 1,\ r = 1 \\ 1 : 2 &\rightarrow c = 0,\ r = 1 \end{align*}$$

Mă opresc atunci când obțin câtul 0.

$$124_{(10)} = 1111100_{(2)}$$

---

2. Compară numerele $11001_{(2)}$ și $1011_{(2)}$ trecându-le în baza 10.

Rezolvare:

$$11001_{(2)} = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 16 + 8 + 1 = 25_{(10)}$$ $$1011_{(2)} = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 2 + 1 = 11_{(10)}$$

Cum $25 > 11$ rezultă:

$$11001_{(2)} > 1011_{(2)}$$