C10 - Factor comun

---

Definiție

Definiție 1

Factor comun: Un factor comun este un număr, o literă sau o expresie care se găsește în fiecare termen al unei expresii algebrice. Scoaterea factorului comun înseamnă rescrierea expresiei astfel încât acest factor să fie înmulțit cu o paranteză ce conține termenii rămași.

Pentru a factoriza o expresie, verificăm mai întâi dacă există un factor comun – adică un număr sau o literă care se regăsește în fiecare termen al expresiei.

Reamintire:
Termenii unei expresii sunt separați prin semnele + sau –.

De exemplu, în expresia $5x + 7$ sunt doi termeni:

• primul: $5x$
• al doilea: $7$

---

Distributivitatea simplă

Definiție 2

Distributivitatea simplă permite dezvoltarea unei expresii în care un număr și/sau o literă este înmulțită cu o paranteză.

Exemplu – Dezvoltarea cu distributivitate simplă

Cum dezvoltăm expresia literară folosind distributivitatea simplă?

---

Metoda

Distribuirea înmulțirii

Proprietate

Într-o expresie literară, un număr lipit de o paranteză înseamnă că acel număr se înmulțește cu fiecare termen din paranteză.

De exemplu, $7(x + 2)$ este același lucru cu $7 \times (x + 2)$.

Nu este obligatoriu să scriem semnul de înmulțire între număr și paranteză – cele două scrieri sunt echivalente.

De Reținut

Pentru a dezvolta expresia, multiplicăm numărul cu fiecare termen din paranteză. Aceasta este distributivitatea simplă:

$$\Large a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c.\\[10pt] \Large a(b - c) = a \cdot b - a \cdot c.$$

---

Cazuri de aplicare

Tehnica distributivității simple se folosește în același mod când avem:

• o literă înmulțită cu o paranteză:

  $$x(y + 3) = xy + 3x$$

• numere și litere înmulțite cu o paranteză:

  $$2a(x + y) = 2ax + 2ay$$

• două litere identice în înmulțire:

  $$a \cdot a = a^2.$$

---

Exemplul 1

Factorizează: $6x + 9$

Ne amintim că $6 = 3\cdot 2$ și $9 = 3\cdot 3$.

$$6x + 9 = 3 \cdot 2x + 3 \cdot 3 = 3 (2x + 3)$$

În paranteză rămâne ce nu a fost scos ca factor comun.

---

Exemplul 2

Factorizează: $5x + 7x$

Nu există factor comun numeric, deoarece $5$ și $7$ nu sunt multipli unul al altuia.
Dar observăm că $x = x \cdot x$, deci putem scoate un x comun:

$$5x^2 + 7x = 5 \cdot x \cdot x + 7 x = x (5x + 7)$$

---

Exemplul 3

Factorizează: $4(x - 2) + 3x(x - 2)$

Nu există factor comun numeric, dar observăm că expresia $(x - 2)$ apare în ambele termene.

$$4(x - 2) + 3x(x - 2) = (x - 2)(4 + 3x)$$

---

Exemplul 4

Factorizează: $3x + 3$

Vedem imediat că 3 este factor comun.

$$3x + 3 = 3 x + 3 \cdot 1 = 3 (x + 1)$$

De Retinut

Atenție: când factorul comun rămâne singur, trebuie să scriem $1$ în paranteză pentru termenul fără multiplicator.

---