C9 - Proprietăți puteri cu exponent natural

---

Introducere

Ce este o putere?

Puterea unui număr reprezintă produsul acelui număr cu el însuși de mai multe ori. Dacă $a$ este un număr și $n \ge 1$, atunci:

$$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n\ \text{factori}}$$

Se citește „$a$ la puterea $n$” sau „$a$ la exponent $n$”.

Exemple:

• $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

• $2000^1 = 2000$

• $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$

• $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$

• $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3} = \dfrac{8}{27}$

• $0^3 = 0$

Observații

• $a^2$ se citește „$a$ la pătrat”

• $a^3$ se citește „$a$ la cub”

• Atenție: $2^3 = 8$, pe când $3 \times 2 = 6$.

---

1. Puteri ale unui număr

Exponent pozitiv

Dacă $n \ge 1$ și $a$ este un număr real,

$$a^n = a \times a \times \dots \times a$$

(cu $n$ factori egali cu $a$).

---

Produsul al două puteri cu aceeași bază

Pentru $a$ număr real și $m, n \ge 1$:

$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

Exemple:

• $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$
• $5^2 \times 5^1 = 5^{3}$
• $8^3 \times 8^2 \times 8^4 = 8^{3+2+4} = 8^{9}$

Atenție

Dacă bazele sunt diferite, regula nu se aplică: $5^2 \times 4^3$ nu se poate scrie ca o singură putere.

Nici o suma de puteri nu se reduce: $3^6 + 3^2$ nu este o singură putere.

Puterea cu exponent zero

De Retinut

Observăm că $a^0 = 1$ pentru orice număr real $a$:

$$a^0 \times a^4 = a^{0+4} = a^4 \quad\Rightarrow\quad a^0 = 1$$

În special, $0^0 = 1$ (convenție).

---

Puterea unei puteri

Pentru $a$ număr real și $m, n \ge 1$:

$$\bigl(a^m\bigr)^n = a^{m \times n}$$

Exemple:

• $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$
• $(7^6)^3 = 7^{6 \times 3} = 7^{18}$

---

Câtul a două puteri cu aceeași bază

Pentru $a \neq 0$ și $m, n$ naturali:

$$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

Exemple:

• $\dfrac{2^5}{2^2} = 2^{5-2} = 2^3$

• $\dfrac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} = 3^{2}$

---

Puterea unui produs și a unui cât

Pentru $a, b \neq 0$ și $n$ întreg:

$$(a \times b)^n = a^n \times b^n, \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$$

Exemple:

• $(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4$
• $\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{2^3}{5^3}$
• $4^3 \times 7^3 = (4 \times 7)^3 = 28^3$

---

2. Puterile lui 10

Exemple de bază

• $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$
• $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = 0{,}01$

Proprietate

Pentru $n \ge 1$:

• $10^n$ este numărul 1 urmat de $n$ zerouri.
• $10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$ reprezintă numărul cu $n$ cifre după virgulă, de forma $0,00\dots 01$.

Exemple:

• $10^5 = 100\,000$
• $10^{-4} = 0{,}0001$
• $10^0 = 1$
• $10^1 = 10$
• $10^{-1} = 0{,}1$

---

Reguli de calcul

De Reținut

$$10^m \times 10^n = 10^{m+n}, \quad \dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}, \quad \bigl(10^m\bigr)^n = 10^{m \times n}$$

Exemple:

• $10^3 \times 10^4 = 10^{7}$

• $\dfrac{10^7}{10^3} = 10^{4}$

• $\bigl(10^5\bigr)^2 = 10^{10}$

---

Deplasarea virgulei

• Înmulțirea unui număr zecimal cu $10^n$ deplasează virgula $n$ ranguri spre dreapta.
• Înmulțirea cu $10^{-n}$ deplasează virgula $n$ ranguri spre stânga.

Exemple:

• $25{,}1 \times 10^5 = 2\,510\,000$
• $25{,}1 \times 10^{-1} = 25,1 : 10 = 2{,}51$

---

3. Scrierea (notația) științifică

Definiție

Scrierea științifică a unui număr real este forma:

$$a \times 10^n$$

unde $a$ este un număr zecimal cu un singur cifru nenul înainte de virgulă, iar $n$ este un număr întreg.

Exemple:

• $A = 8{,}56 \times 10^7$ este scris corect în notație științifică.
• $B = 0{,}45 \times 10^{2}$ nu este scris corect (cifra înainte de virgulă este nulă).
• $C = 9{,}1 \times 5^3$ nu este scris corect (al doilea factor nu este o putere a lui 10).

---

Compararea numerelor scrise științific

Pentru $A = a \times 10^m$ și $B = b \times 10^n$:

1. Comparăm mai întâi exponenții $m$ și $n$.
2. Dacă sunt egali, comparăm valorile $a$ și $b$.

Exemple:

• $6{,}04 \times 10^5 < 2{,}03 \times 10^7$ (deoarece $5<7$)
• $4{,}51 \times 10^7 < 6{,}7 \times 10^7$ (exponenți egali, comparăm coeficienții)

---

Tabel – Reguli de calcul pentru puterile lui $10$

Regula	Exemplu 1	Exemplu 2
$10^m \times 10^n = 10^{m+n}$	$10^3 \times 10^4 = 10^{7}$	$10^{-6} \times 10^{4} = 10^{-2}$
$\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$	$\dfrac{10^7}{10^3} = 10^{4}$	$\dfrac{10^{-5}}{10^{8}} = 10^{-13}$
$\bigl(10^m\bigr)^n = 10^{m \times n}$	$(10^5)^2 = 10^{10}$	$(10^3)^{-4} = 10^{-12}$