C14.1 - Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ (factor comun)

---

Descompunerea în factori

• Descompunerea în factori a unei expresii algebrice înseamnă scrierea acelei expresii ca produs între două sau mai multe expresii algebrice.
• O metodă de descompunere în factori este utilizarea factorului comun. Această metodă se bazează pe distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere.

Egalitatea $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ se poate scrie $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.

Exemplu: Descompune în factori expresia algebraică: $E(x,y,z) = 9x^2y^3z + 15x^3y^2 - 21x^2y$

Metoda de rezolvare

Cum gândesc

Există un număr, diferit de 1, la care să se împartă exact toți coeficienții? În cazul nostru răspunsul este DA; numărul căutat este 3. El va face parte din factorul comun.

Există litere care apar în fiecare dintre termeni? DA; $x$ și $y$. Aceste litere, cu cel mai mic exponent la care apar, fac parte din factorul comun. În concluzie, un factor comun este $3x^2y$

Redactare

$9x^2y^3z + 15x^3y^2 - 21x^2y = 3x^2y(3y^2z + 5xy - 7)$

---

Explicația etapelor de calcul:

• $9x^2y^3z : (3x^2y) = 3y^2z$
• $15x^3y^2 : (3x^2y) = 5xy$
• $21x^2y : (3x^2y) = 7$

---

Model de rezolvare

Exercițiul 1

Scoaterea factorului comun, după model:

Model: $a(x + 1) + b(x + 1) = (x + 1)(a + b)$

a) $(x + 2)(x - 3) + 4(x + 2)$

b) $a(x + y) + b(x + y)$

c) $(x + 3)^2 - (x + 3)$

d) $(x - 2)^2 - (x - 2)^3$

Rezolvare: a) Observăm că factorul comun este paranteza $(x + 2)$

$(x + 2)(x - 3) + 4(x + 2) = (x + 2)[(x - 3) + 4] = (x + 2)(x + 1)$

b) Factorul comun este paranteza $(x + y)$

$a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)$

c) Factorul comun este $(x + 3)$.

Reținem că $(x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3)$ și $(x + 3) = (x + 3) \cdot 1$

$(x + 3)^2 - (x + 3) = (x + 3)[(x + 3) - 1] = (x + 3)(x + 2)$

d) Factorul comun este $(x - 2)^2$

$(x - 2)^2 - (x - 2)^3 = (x - 2)^2 [1 - (x - 2)] = (x - 2)^2 (1 - x + 2) = (x - 2)^2 (3 - x)$

---

Exercițiul 2

Știind că $xy = -7$ și $x + y = 2$, calculează $3x^2y + 3xy^2$.

Rezolvare: Identificăm factorul comun pentru expresia $3x^2y + 3xy^2$. Acesta este $3xy$.

Scoaterea factorului comun:$3x^2y + 3xy^2 = 3xy(x + y)$

Înlocuim valorile date în enunț ($xy = -7$ și $x + y = 2$):$3 \cdot (-7) \cdot 2 = -21 \cdot 2 = -42$

Rezultat final: -42

---

Exersează!

1. Calculează, folosind factorul comun:

   a) $157\cdot 79+21\cdot 157$

   b) $478\cdot 132+478\cdot 18-50\cdot 478$

2. Pentru care numere naturale nenule $x$ este adevărată relația $x(x-4)=0$?

3. Pentru câte numere reale $x$ este adevărată relația $(x+1)(x-1)(x^2+1)=0$?

---