Skip to main content

C14.3 - Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ (grupare de termeni)

Observație​

23⋅47+43⋅51+23⋅53−43⋅41=23 \cdot 47 + 43 \cdot 51 + 23 \cdot 53 - 43 \cdot 41 =
23⋅(47+53)+43⋅(51−41)=23 \cdot (47 + 53) + 43 \cdot (51 - 41) =
23⋅100+43⋅10=2 300+430=2 73023 \cdot 100 + 43 \cdot 10 = 2\,300 + 430 = 2\,730

Figura 1 - Exercițiu pe tablă

cerințǎ

Urmărește cu atenție exercițiul de pe tabla din Figura 1 și apoi efectuează, cât mai rapid, următoarele calcule:

  • a) 39⋅104−39⋅4+27⋅63+27⋅3739 \cdot 104 - 39 \cdot 4 + 27 \cdot 63 + 27 \cdot 37;
  • b) 572+57⋅43+29⋅79−29⋅6957^2 + 57 \cdot 43 + 29 \cdot 79 - 29 \cdot 69;
  • c) 172−2⋅17⋅7+72+2017^2 - 2 \cdot 17 \cdot 7 + 7^2 + 20;
  • d) 202+192+2⋅19⋅21+21220^2 + 19^2 + 2 \cdot 19 \cdot 21 + 21^2.
important

O metodă de descompunere în factori este utilizarea grupării termenilor. Această metodă poate fi utilizată în mai multe moduri.

Exemplul 1: Grupare prin factor comun parțial​

Exemplu: Descompune în factori expresia E(x,y)=x2+xy+2x+2yE(x,y) = x^2 + xy + 2x + 2y, unde xx și yy sunt numere reale.

Soluție:

Cum gândesc: Pas 1. Observ că nu există un factor comun pentru toți termenii expresiei. Dar, dacă privesc numai primii doi termeni pot scoate factor comun pe xx, iar în paranteză obțin x+yx + y. Dacă privesc cei doi termeni care rămân pot scoate factor comun pe 22, iar în paranteză obțin tot x+yx + y.

Cum scriu: E(x,y)=x2+xy+2x+2y=x(x+y)+2(x+y)E(x,y) = x^2 + xy + 2x + 2y = x\color{red}{(x + y)} + 2\color{red}{(x + y)}

Pas 2. Acum, paranteza x+yx + y poate fi scoasă factor comun.

E(x,y)=x2+xy+2x+2y=x(x+y)+2(x+y)=(x+y)(x+2)E(x,y) = x^2 + xy + 2x + 2y = x\color{red}{(x + y)} + 2\color{red}{(x + y)} = \color{red}{(x + y)}(x + 2)

În concluzie, E(x,y)=(x+y)(x+2)E(x,y) = (x + y)(x + 2).

Exemplul 2: Grupare folosind formule de calcul prescurtat​

Exemplu: Descompune în factori expresia E(x,y)=x2−y2−2x+1E(x,y) = x^2 - y^2 - 2x + 1, unde xx și yy sunt numere reale.

Soluție:

Cum gândesc: Pas 1. Observ că nu există un factor comun nici în cazul în care aș dori să grupez termenii. Termenii x2x^2, −2x-2x și 11 îmi sugerează formula (a−b)2(a - b)^2. Rescriu expresia, ordonând altfel termenii.

Cum scriu: E(x,y)=x2−2x+1−y2E(x,y) = \color{blue}{x^2 - 2x + 1} - y^2

Pas 2. Din primii trei termeni obțin (x−1)2(x - 1)^2.

E(x,y)=x2−2x+1−y2=(x−1)2−y2E(x,y) = x^2 - 2x + 1 - y^2 = \color{red}{(x - 1)^2} - y^2

Pas 3. Forma obținută mă trimite cu gândul la o diferență de pătrate în care aa este paranteza x−1x - 1, iar bb este yy.

E(x,y)=(x−1)2−y2=(x−1+y)(x−1−y)E(x,y) = \color{red}{(x - 1)^2} - y^2 = (\color{red}{x - 1} + y)(\color{red}{x - 1} - y)

În concluzie, E(x,y)=(x+y−1)(x−y−1)E(x,y) = (x + y - 1)(x - y - 1).

prof. ing. BRIȘAN Andrei-Sebastian