G6.2 - Dreapta paralelă cu planul

---

Observă și descoperă!

cerințǎ

În figura din dreapta sus sunt reprezentate schițat șoseaua sub forma planului $\alpha$, pasarela sub forma dreptei $d$ și umbra pasarelei pe șosea sub forma dreptei $a$.

a) Cum sunt dreptele $d$ și $a$?

b) Dacă $\beta$ este planul determinat de dreptele $d$ și $a$, care este dreapta de intersecție a planelor $\alpha$ și $\beta$?

c) Dreapta $d$ și planul $\alpha$ au puncte comune?

---

important

• O dreaptă este paralelă cu un plan dacă nu are niciun punct comun cu planul.

important

• O dreaptă este concurentă cu un plan (înțeapă planul) dacă are exact un punct comun cu planul.

Scriu: $d \cap \alpha = \{A\}$. Citesc: dreapta $d$ intersectează planul (înțeapă planul) $\alpha$ în punctul $A$.

important

• Dacă o dreaptă are două puncte comune cu un plan, atunci ea este conținută în plan. (Axioma includerii)

---

Demonstrație

Demonstrație

Cum dovedesc că o dreaptă este paralelă cu un plan? Dacă o dreaptă $d$ neinclusă în planul $\alpha$ este paralelă cu o dreaptă din planul $\alpha$, atunci este paralelă cu planul $\alpha$.

$$\left. \begin{aligned} d \parallel a \\ a \subset \alpha \end{aligned} \right\} \Rightarrow d \parallel \alpha$$

Justificare: Presupunem că $d \nparallel \alpha$. Atunci $d$ și $\alpha$ au puncte comune. Considerăm $M$ un punct comun. Pe de altă parte, $d \parallel a$ implică faptul că există un plan $\beta = (d, a)$. Deoarece $M \in d \cap \alpha$ obținem $M \in d \subset \beta$ și $M \in \alpha$, adică $M \in \alpha \cap \beta$. Cum $\alpha \cap \beta = a$ rezultă $M \in a$.

Dar $M \in d$, deci dreptele $a$ și $d$ sunt concurente. Contradicție cu $d \parallel a$, prin urmare presupunerea făcută ($d \nparallel \alpha$) este falsă. Obținem că $d \parallel \alpha$.

Observație:

Dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, atunci este paralelă cu o infinitate de drepte din plan, dar nu cu oricare dreaptă din plan.

Exemplu: muchia notată cu a este paralelă cu fiecare dreaptă determinată de codul de bare, dar nu este paralelă cu dreapta de sub textul scris pe cutie.

---