C7 - Fracții: amplificarea și simplificarea

---

Simplificarea unei fracții

DEFINIȚIE 1

A simplifica o fracție înseamnă a scrie o fracție egală cu ea, al cărei numărător și al cărei numitor sunt mai mici.

---

Fracția ireductibilă

DEFINIȚIE 2

O fracție ireductibilă este o fracție simplificată la maximum.

Exemple:

$$\dfrac{5}{18}$$

este o fracție ireductibilă.

$$\dfrac{18}{27}$$

nu este o fracție ireductibilă, deoarece această fracție se poate simplifica prin 3.

---

Metode

Simplificarea unei fracții

Pentru a simplifica o fracție, împărțim numărătorul și numitorul ei printr-un divizor comun diferit de 1.

Exemplu:

$$\dfrac{21}{28} = \dfrac{21 : 7}{28 : 7} = \dfrac{3}{4}$$

sau

$$\dfrac{21}{28} = \dfrac{7 \times 3}{7 \times 4} = \dfrac{3}{4}.$$

21 și 28 sunt multiplii lui 7, deci putem împărți numărătorul și numitorul prin 7.

Se spune că am simplificat $\dfrac{21}{28}$ prin 7.

---

Forma ireductibilă

Metoda 1 - Simplificare pas cu pas

Simplificăm progresiv până când nu se mai poate continua.

Exemplu:
Aduce la forma ireductibilă fracția

$$\dfrac{42}{48}.$$ $$\dfrac{42}{48} = \dfrac{21}{24} = \dfrac{7}{8}.$$

Fracția $\dfrac{7}{8}$ este ireductibilă.

(Am fi putut de asemenea simplifica direct prin 6.)

---

Metoda 2 - Descompunerea în produs de factori primi

Descompunem numărătorul și numitorul în produs de factori primi, apoi simplificăm.

Exemplu:
Aduce la forma ireductibilă fracția

$$\dfrac{630}{735}.$$

630 se descompune astfel:

$$630 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7.$$

735 se descompune astfel:

$$735 = 3 \times 5 \times 7 \times 7.$$ $$\dfrac{630}{735} = \dfrac{2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7}{3 \times 5 \times 7 \times 7} = \dfrac{2 \times 3}{7} = \dfrac{6}{7}.$$

Fracția $\dfrac{6}{7}$ este ireductibilă.

---

Amplificarea unei fracții

DEFINIȚIE

Amplificarea unei fracții înseamnă înmulțirea numărătorului și numitorului fracției cu același număr natural nenul, obținând astfel o fracție echivalentă.

Amplificarea este operația inversă simplificării și este esențială în aritmetica fracțiilor pentru a efectua operații și comparații.

---

Metode

Pentru a amplifica o fracție $\dfrac{a}{b}$ cu un număr $k$ (unde $k$ este un număr natural nenul):

Înmulțește numărătorul și numitorul cu $k$:

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}$$

Exemplu: Amplifică fracția $\dfrac{2}{3}$ cu 4:

$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$$

Amplifică fracția $\dfrac{5}{7}$ cu 3:

$$\dfrac{5}{7} = \dfrac{5 \times 3}{7 \times 3} = \dfrac{15}{21}$$

---

Proprietați

PROPRIETĂȚI

1. O fracție amplificată rămâne echivalentă cu fracția inițială.
2. Amplificarea se poate face cu orice număr natural nenul.
3. Amplificarea este utilă pentru a aduce fracții la același numitor comun sau pentru a facilita calculele.

Amplificarea fracțiilor se folosește în următoarele situații:

1. Adunarea sau scăderea fracțiilor cu numitori diferiți: Exemplu: Calculează $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$.

   Amplificăm prima fracție cu 3: $\dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}$

   Amplificăm a doua fracție cu 2: $\dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6}$

   Acum: $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$

2. Compararea fracțiilor:

   Exemplu: Compară $\dfrac{2}{3}$ și $\dfrac{3}{4}$.

   Amplificăm prima cu 4: $\dfrac{8}{12}$

   Amplificăm a doua cu 3: $\dfrac{9}{12}$

   $\dfrac{8}{12} < \dfrac{9}{12}$, deci $\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}$

3. Înmulțirea fracțiilor:

   Exemplu: $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$

---