C5 - Inecuatii de forma ax + b

---

Definite

Definitie

Inecuțiile de forma
$a \cdot x + b < 0, \quad a \cdot x + b \le 0, \quad a \cdot x + b > 0, \quad a \cdot x + b \ge 0$
se numesc inecuții cu necunoscuta $x$.

O valoare a lui $x$ pentru care inegalitatea este verificată se numește soluție a inecuației respective.

Prin rezolvarea unei inecuații în mulțimea numerelor reale, înțelegem determinarea mulțimii tuturor soluțiilor reale ale acesteia.

---

Proprietăți ale relației de inegalitate

De Retinut

Pentru a rezolva o inecuație folosim următoarele proprietăți:

• Dacă adunăm sau scădem același număr real la ambii membri ai unei inegalități de numere reale, atunci inegalitatea se păstrează.

• Dacă înmulțim cu același număr real pozitiv ambii membri ai unei inegalități de numere reale, atunci inegalitatea se păstrează.

• Dacă împărțim cu același număr real pozitiv ambii membri ai unei inegalități de numere reale, atunci inegalitatea se păstrează.

• Dacă înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inegalități cu un număr negativ, inegalitatea își schimbă sensul.

---

Defintie

În mulțimea numerelor reale, soluțiile unei inecuații le scriem de obicei sub formă de intervale.

Exemple

$x \cdot (-3) < 9 \Rightarrow \text{(: -3)} \Rightarrow x > (-3) \Rightarrow x \in (-3, +\infty)$

---

$x + 22 \le 19 \Rightarrow x \le -3 \Rightarrow x \in (-\infty, -3]$

---

$5x - 2 \le 1 \Rightarrow +1 \Rightarrow 5x \le 3 \Rightarrow :5 \Rightarrow x \le \dfrac{3}{5} \Rightarrow x \in (-\infty, \dfrac{3}{5}]$

---

$12 - x \le 4 \Rightarrow -12 \Rightarrow -x \le -8 \Rightarrow :(-1) \Rightarrow x \ge 8$

$\Rightarrow x \in [8, +\infty)$

---

$4(x - 2) - 1 > 3x - 1 \Rightarrow 4x - 8 - 1 > 3x - 1$

Desfacem parantezele și separăm termenii:

$4x - 9 > 3x - 1 \Rightarrow x > 8 \Rightarrow x \in (8, +\infty)$

---

$\dfrac{5(2x - 3)}{2} + \dfrac{2(3 - x)}{2} \ge 7 \cdot 6 \quad (\text{numitorul comun})$

$\Rightarrow \dfrac{10x - 15 + 6 - 2x}{2} \ge 42$

$\Rightarrow \dfrac{8x - 9}{2} \ge 42 \Rightarrow 8x - 9 \ge 84 \Rightarrow 8x \ge 93 \Rightarrow x \ge \dfrac{93}{8}$

$\Rightarrow x \in \left[\dfrac{93}{8}, +\infty\right)$

---