C2 - Mulțimea nr. reale R

---

Manipularea numerelor reale

Mulțimea $\mathbb{R}$ și dreapta numerică

definitie

Fiecărui punct de pe o dreaptă gradată îi asociem un unic număr real, și reciproc: un număr real este abscisa unui punct pe dreapta gradată.

Pe dreapta numerelor reale:

• $x \leq 0$ → reale negative
• $x = 0$ → real nul
• $x \geq 0$ → reale pozitive

---

Intervalele din $\mathbb{R}$

definitie

Un interval este o bucată a dreptei numerelor reale sau poate sǎ reprezinte în întregime mulțimea.

• Mulțimea numerelor reale:

$$\mathbb{R} = ( -\infty ; +\infty )$$

---

Intervale mărginite:

$$a \leq x \leq b \quad \Rightarrow \quad [a ; b]$$

---

$$a < x < b \quad \Rightarrow \quad (a ; b)$$

---

Intervale nemărginite:

$$x \leq a \quad \Rightarrow \quad (-\infty ; a]$$

---

$$x \geq a \quad \Rightarrow \quad [a ; +\infty )$$

---

Valoarea absolută a unui număr real

Definiție

Valoarea absolută a numărului real $a$ este distanța dintre $a$ și $0$ pe dreapta gradată.

$$|a| = OM = \begin{cases} a & \text{daca} \quad a \geq 0 \\ - a & \text{daca} \quad a < 0 \end{cases}$$

---

Distanța dintre două numere reale $a$ și $b$

cerințǎ

Distanța dintre două numere reale $a$ și $b$ este valoarea absolută a diferenței lor:

$$|b-a| = AB$$

---

Intervalul $[a-r ; a+r]$

$a$ este centrul acestui interval.

---

Condiția $|x-a| \leq r$

Toate numerele reale $x$ din intervalul $[a-r ; a+r]$ sunt la o distanță mai mică sau egală cu $r$ de numărul real $a$.

$$x \in [a-r ; a+r] \quad \Leftrightarrow \quad |x-a| \leq r$$

---

Alte mulțimi de numere

Mulțimea $\mathbb{N}$ a numerelor naturale și $\mathbb{Z}$ a numerelor întregi

• Mulțimea $\mathbb{N}$ include toate numerele întregi pozitive:

$$\mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \dots\}$$

• Mulțimea $\mathbb{Z}$ include numerele naturale și numerele naturale scrise sub formǎ negativǎ:

$$\mathbb{Z} = \{\dots ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \dots\}$$

---

Mulțimea $\mathbb{Q}$ a numerelor raționale

Un număr rațional se poate scrie sub forma:

$$\frac{a}{b}$$

unde $a \in \mathbb{Z}$ și $b \in \mathbb{N}^*$ (număr natural nenul).

---

Numere iraționale $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$

Numerele reale care nu sunt raționale sunt iraționale:

$$\sqrt{2} ; \; -\cos(23^\circ) ; \; \pi ; \; 24,11222333345\dots$$