C8.2 - Calcul literar: descompuneri în factori

Dezvoltare și factorizare

Definiție 1

Dezvoltarea reprezintă un produs (înmulțire) înlocuit de o sumă egală, pentru toate valorile atribuite literelor.

Exemplu:

Definiție 2

Factorizarea reprezintă o sumă înlocuită de un produs egal, pentru toate valorile atribuite literelor.

Exemplu 1:

Exemplu 2:

Exemplu

Factorizează următoarele expresii, dacă este posibil:

E_1(x) = 5x^2 + 3x \quad\quad E_2(x) = 9-4x^2 \quad\quad E_3(x) = 25 + x^2

Observăm toți termenii din expresie (aici, în cazul nostru, fiecare expresie are câte 2 termeni). Acești termeni conțin un factor comun?

Metoda

Amplicăm proprietatea distributivității simple

$ab + ac = a(b+c)$

$ab - ac = a(b-c)$

$\large E_1(x) = 5x^2 + 3x = 5x \cdot \underline x + 3\underline x$

Tragem concluzia că x este factorul comun

$\large E_1(x) = x(5x+3)$

Metoda

Putem utiliza identități remarcabile

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Pentru $E_2(x)$ : folosim identitatea $a^2-b^2$

$\large E_2(x) = 9 - 4x^2 = 3^2 - (2x)^2 \;,\;cu\;a=3 \quad și \quad b=2x$

$\large E_2(x) = (3-2x)(3+2x)$

Pentru $E_3(x)$ : nu putem factoriza și nici să folosim formule de calcul prescurtat

$\large E_3(x) = 25 + x^2$

De Reținut

Pentru orice a,b:

Citită de la stânga la dreapta, egalitatea permite următoarea dezvoltare:

Exemplu:
Citită de la dreapta la stânga, egalitatea permite următoarea factorizare:

Exemplu