C3.3 - Dublă distributivitate și identitate remarcabilă

---

Dezvoltare folosind dubla distributivitate

Dublă distributivitate

Pentru orice numere $a,b,c,d$:

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

Exemplu: Dezvoltă

$$A=(5-2x)(7x-3).$$

Pași:

1. Aplicăm dubla distributivitate:

$$A=5\cdot 7x-5\cdot 3-2x\cdot 7x+(-2x)\cdot(-3).$$

2. Efectuăm produsele:

$$A=35x-15-14x^2+6x.$$

3. Grupăm și simplificăm:

$$A=-14x^2+41x-15.$$

Nu uita regula semnului la produs: $(\,-2x)\cdot(-3)=+6x$.

---

Dezvoltare folosind identitatea remarcabilă

Identitate remarcabilă

Pentru orice numere $a,b$:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Exemplu: Dezvoltă

$$B=(2+5x)(2-5x).$$

Recunoaștem identitatea cu $a=2$ și $b=5x$, deci:

$$B=2^2-(5x)^2=4-25x^2.$$

Atenție: $(5x)^2=25x^2$, nu $5x^2$. Pătratul se aplică întregului $5x$, nu doar lui $x$.

---

Observație

Mai există încă două identități remarcabile utile:

Identitate remarcabilă

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Exemplu: Dezvoltă

$$C=(3x+4)^2.$$

Recunoaștem identitatea cu $a=3x$ și $b=4$, deci:

$$C=(3x)^2+2\cdot 3x\cdot 4+4^2=9x^2+24x+16.$$

Reciproca:
Scrie $9x^2+24x+16$ ca un pătrat. Observăm că

$$9x^2=(3x)^2,\quad 24x=2\cdot 3x\cdot 4,\quad 16=4^2,$$

deci

$$9x^2+24x+16=(3x+4)^2.$$

---

Identitate remarcabilă

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Exemplu: Dezvoltă

$$D=(2y-5)^2.$$

Recunoaștem identitatea cu $a=2y$ și $b=5$, deci:

$$D=(2y)^2-2\cdot 2y\cdot 5+5^2=4y^2-20y+25.$$

Reciproca
Scrie $4y^2-20y+25$ ca un pătrat. Observăm că $a = 2y$ si $b = 5$, deoarece $4y^2=(2y)^2,\quad -20y=-2\cdot 2y\cdot 5,\quad 25=5^2,$ deci:

$$4y^2-20y+25=(2y-5)^2.$$