C4 - Intervale și comparații în mulțimea nr. reale

---

Știm deja că mulțimile de numere pe care le-am studiat se includ una în alta:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.$$

Orice număr real, fie el natural, întreg, rațional sau irațional, se reprezintă printr-un punct pe axa numerelor. În această lecție vom învăța:

• cum comparăm două numere reale, inclusiv numere scrise cu radicali;
• ce proprietăți au inegalitățile și cum le folosim pentru a încadra o expresie;
• ce sunt intervalele de numere reale și cum le reprezentăm pe axă;
• cum efectuăm operații cu intervale: reuniunea, intersecția și diferența.

1. Compararea numerelor reale

1.1 Relația de ordine pe mulțimea numerelor reale

Definiție

Fie $a$ și $b$ două numere reale. Spunem că $a$ este mai mic decât $b$ și scriem $a \lt b$ dacă diferența $b - a$ este un număr pozitiv:

$$a \lt b \iff b - a \gt 0.$$

Pe axa numerelor, numărul mai mic se află întotdeauna la stânga numărului mai mare.

În figura de mai jos am reprezentat câteva numere reale pe axă.

Figura 1 – Numerele reale pe axă: numărul mai mic se află mereu la stânga numărului mai mare

Citind numerele de la stânga la dreapta, le obținem în ordine crescătoare:

$$-\sqrt{5} \lt -0{,}5 \lt \sqrt{2} \lt 2{,}5 \lt \pi.$$

Observații

• Scriem $a \le b$ (citim „$a$ este mai mic sau egal cu $b$”) dacă $a \lt b$ sau $a = b$. Analog, $a \ge b$ înseamnă $a \gt b$ sau $a = b$.
• Pentru oricare două numere reale $a$ și $b$ are loc exact una dintre situațiile $a \lt b$, $a = b$ sau $a \gt b$. De aceea spunem că oricare două numere reale se pot compara.
• Orice număr negativ este mai mic decât $0$, iar $0$ este mai mic decât orice număr pozitiv. Prin urmare, orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv.

1.2 Metode de comparare

Cum comparăm două numere reale

• Numere scrise cu radicali. Pentru $a, b \ge 0$ avem $\sqrt{a} \lt \sqrt{b} \iff a \lt b$. De exemplu, $\sqrt{7} \lt \sqrt{11}$, deoarece $7 \lt 11$.
• Introducem factorul sub radical. Dacă $a \ge 0$, atunci $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$. De exemplu, $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$ și $-2\sqrt{7} = -\sqrt{28}$.
• Comparăm pătratele. Pentru $x, y \ge 0$ avem $x \lt y \iff x^2 \lt y^2$.
• Studiem semnul diferenței. Dacă $a - b \lt 0$, atunci $a \lt b$, iar dacă $a - b \gt 0$, atunci $a \gt b$.
• Numere negative. Dintre două numere negative, mai mare este cel care are modulul mai mic. De exemplu, $-3 \gt -5$. În general, $a \lt b \iff -a \gt -b$.
• Încadrăm între întregi consecutivi. Pentru un număr natural $n$ avem $n \lt \sqrt{a} \lt n + 1 \iff n^2 \lt a \lt (n + 1)^2$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Comparați numerele:

• a) $3\sqrt{5}$ și $4\sqrt{3}$;
• b) $-2\sqrt{7}$ și $-5$;
• c) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ și $\sqrt{10}$;
• d) $0{,}(3)$ și $0{,}33$.

Rezolvare.

• a) Introducem factorii sub radical: $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$ și $4\sqrt{3} = \sqrt{48}$. Cum $45 \lt 48$, rezultă $\sqrt{45} \lt \sqrt{48}$, deci $3\sqrt{5} \lt 4\sqrt{3}$.
• b) Avem $-2\sqrt{7} = -\sqrt{28}$ și $-5 = -\sqrt{25}$. Deoarece $\sqrt{28} \gt \sqrt{25}$, numerele opuse sunt în relația inversă: $-\sqrt{28} \lt -\sqrt{25}$, deci $-2\sqrt{7} \lt -5$.
• c) Ambele numere sunt pozitive, deci putem compara pătratele lor: $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$ și $(\sqrt{10})^2 = 10$. Comparăm $5 + 2\sqrt{6}$ cu $10$, adică $2\sqrt{6}$ cu $5$, adică $\sqrt{24}$ cu $\sqrt{25}$. Cum $\sqrt{24} \lt \sqrt{25}$, obținem $\sqrt{2} + \sqrt{3} \lt \sqrt{10}$.
• d) $0{,}(3) = 0{,}333\ldots$, iar $0{,}33 = 0{,}330$. Primele două zecimale coincid, iar a treia zecimală este $3$, respectiv $0$. Deci $0{,}(3) \gt 0{,}33$.

Atenție

Putem compara pătratele în locul numerelor numai dacă numerele sunt nenegative. De exemplu, $-3 \lt 2$, dar $(-3)^2 = 9 \gt 4 = 2^2$.

Exemplul 2. Ordonați crescător numerele: $4$; $\sqrt{15}$; $-\sqrt{20}$; $3\sqrt{2}$; $-4{,}5$; $2\sqrt{3}$.

Rezolvare. Numerele negative sunt mai mici decât cele pozitive, deci le tratăm separat.

Numerele negative sunt $-4{,}5$ și $-\sqrt{20}$. Avem $4{,}5 = \sqrt{20{,}25}$ și $20{,}25 \gt 20$, deci $4{,}5 \gt \sqrt{20}$, de unde $-4{,}5 \lt -\sqrt{20}$.

Numerele pozitive le scriem sub formă de radical: $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$, $\sqrt{15}$, $4 = \sqrt{16}$ și $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$. Cum $12 \lt 15 \lt 16 \lt 18$, obținem $2\sqrt{3} \lt \sqrt{15} \lt 4 \lt 3\sqrt{2}$.

Așadar:

$$-4{,}5 \lt -\sqrt{20} \lt 2\sqrt{3} \lt \sqrt{15} \lt 4 \lt 3\sqrt{2}.$$

Exemplul 3. Încadrați între doi întregi consecutivi numerele: a) $\sqrt{40}$; b) $3\sqrt{5}$; c) $-\sqrt{30}$.

Rezolvare.

• a) $36 \lt 40 \lt 49$, deci $\sqrt{36} \lt \sqrt{40} \lt \sqrt{49}$, adică $6 \lt \sqrt{40} \lt 7$.
• b) $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$ și $36 \lt 45 \lt 49$, deci $6 \lt 3\sqrt{5} \lt 7$.
• c) $25 \lt 30 \lt 36$, deci $5 \lt \sqrt{30} \lt 6$. Trecând la numerele opuse, sensul inegalităților se schimbă: $-6 \lt -\sqrt{30} \lt -5$.

Observație

Încadrările de acest fel ne dau aproximări ale numerelor iraționale. De exemplu, $1{,}41 \lt \sqrt{2} \lt 1{,}42$ și $3{,}14 \lt \pi \lt 3{,}15$. Numerele $1{,}41$ și $3{,}14$ sunt aproximările prin lipsă, cu o eroare mai mică de o sutime, ale lui $\sqrt{2}$, respectiv $\pi$. Mai departe vom vedea că o astfel de încadrare se poate scrie și cu ajutorul unui interval.

2. Proprietățile inegalităților

Proprietăți

Pentru orice numere reale $a$, $b$, $c$ și $d$:

1. Tranzitivitatea. Dacă $a \lt b$ și $b \lt c$, atunci $a \lt c$.
2. Adunarea sau scăderea unui număr. Dacă $a \lt b$, atunci $a + c \lt b + c$ și $a - c \lt b - c$.
3. Înmulțirea cu un număr pozitiv. Dacă $a \lt b$ și $c \gt 0$, atunci $a \cdot c \lt b \cdot c$ (sensul inegalității se păstrează).
4. Înmulțirea cu un număr negativ. Dacă $a \lt b$ și $c \lt 0$, atunci $a \cdot c \gt b \cdot c$ (sensul inegalității se schimbă).
5. Adunarea membru cu membru. Dacă $a \lt b$ și $c \lt d$, atunci $a + c \lt b + d$.

Proprietățile rămân adevărate și pentru inegalitățile nestricte ($\le$ și $\ge$). Pentru împărțire folosim aceleași reguli ca la înmulțire, deoarece a împărți la $c$ înseamnă a înmulți cu $\dfrac{1}{c}$.

Greșeli frecvente

• Uităm să schimbăm sensul când înmulțim cu un număr negativ. De exemplu, $-2 \lt 3$; înmulțind cu $-1$, obținem $2 \gt -3$, nu $2 \lt -3$.
• Scădem inegalitățile membru cu membru. Acest lucru nu este permis! De exemplu, $1 \lt 3$ și $0 \lt 5$, dar $1 - 0 \lt 3 - 5$ este fals, deoarece $1 \gt -2$.

Exemplul 4. Știind că $2 \lt x \lt 5$, încadrați expresiile: a) $3x - 1$; b) $4 - 2x$.

Rezolvare.

a) Înmulțim cu $3 \gt 0$ (sensul se păstrează), apoi scădem $1$:

$$\begin{array}{l} 2 \lt x \lt 5 \;\Rightarrow\; 6 \lt 3x \lt 15 \\ \phantom{2 \lt x \lt 5} \;\Rightarrow\; 5 \lt 3x - 1 \lt 14. \end{array}$$

b) Înmulțim cu $-2 \lt 0$ (sensul se schimbă), apoi adunăm $4$:

$$\begin{array}{l} 2 \lt x \lt 5 \;\Rightarrow\; -4 \gt -2x \gt -10 \\ \phantom{2 \lt x \lt 5} \;\Rightarrow\; -10 \lt -2x \lt -4 \\ \phantom{2 \lt x \lt 5} \;\Rightarrow\; -6 \lt 4 - 2x \lt 0. \end{array}$$

3. Intervale de numere reale

Să considerăm mulțimea tuturor numerelor reale cuprinse între $-2$ și $3$, care îl conține pe $-2$, dar nu îl conține pe $3$:

$$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x \lt 3\}.$$

Mulțimea $A$ are o infinitate de elemente, deci nu le putem enumera. De aceea folosim o scriere prescurtată, numită interval: $A = [-2, 3)$.

3.1 Intervale mărginite

Definiție: intervale mărginite

Fie $a$ și $b$ două numere reale, cu $a \lt b$. Următoarele mulțimi se numesc intervale mărginite:

Notația	Mulțimea	Denumirea
$[a, b]$	$\{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$	interval închis
$(a, b)$	$\{x \in \mathbb{R} \mid a \lt x \lt b\}$	interval deschis
$[a, b)$	$\{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \lt b\}$	interval închis la stânga și deschis la dreapta
$(a, b]$	$\{x \in \mathbb{R} \mid a \lt x \le b\}$	interval deschis la stânga și închis la dreapta

Numerele $a$ și $b$ se numesc capetele (sau extremitățile) intervalului: $a$ este capătul din stânga, iar $b$ este capătul din dreapta.

Reprezentarea pe axă. Un interval se reprezintă pe axa numerelor printr-un segment colorat. La fiecare capăt desenăm o paranteză pătrată dacă numărul aparține intervalului și o paranteză rotundă dacă numărul nu aparține intervalului.

Figura 2 – Cele patru tipuri de intervale mărginite cu capetele a și b

Observații

• Paranteza pătrată arată că numărul de la capăt este inclus în interval, iar paranteza rotundă arată că este exclus.
• În unele manuale, capetele se marchează cu puncte: un punct plin (●) pentru capăt inclus și un punct gol (○) pentru capăt exclus.
• Orice interval mărginit are o infinitate de elemente. De exemplu, mijlocul $\dfrac{a + b}{2}$ aparține intervalului, apoi mijlocul dintre $a$ și acest număr, și tot așa, la nesfârșit.
• Numărul $\ell = b - a$ se numește lungimea intervalului. De exemplu, intervalul $[-2, 3)$ are lungimea $3 - (-2) = 5$.

Capete zecimale

Când un capăt este număr zecimal, separăm capetele prin punct și virgulă, ca să nu confundăm virgula zecimală cu virgula dintre capete. De exemplu, scriem $[1{,}5;\ 3]$ și $(-0{,}2;\ 4{,}7)$.

3.2 Intervale nemărginite

Mulțimea numerelor reale mai mari sau egale cu $2$ nu are un „capăt din dreapta”: oricât de mare ar fi un număr, există numere și mai mari. Pentru a descrie astfel de mulțimi folosim simbolurile $+\infty$ (citim „plus infinit”) și $-\infty$ (citim „minus infinit”).

Definiție: intervale nemărginite

Fie $a$ un număr real. Următoarele mulțimi se numesc intervale nemărginite:

Notația	Mulțimea	Pe axă
$[a, +\infty)$	$\{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a\}$	de la $a$, inclusiv, spre dreapta
$(a, +\infty)$	$\{x \in \mathbb{R} \mid x \gt a\}$	de la $a$, exclusiv, spre dreapta
$(-\infty, a]$	$\{x \in \mathbb{R} \mid x \le a\}$	de la $a$, inclusiv, spre stânga
$(-\infty, a)$	$\{x \in \mathbb{R} \mid x \lt a\}$	de la $a$, exclusiv, spre stânga
$(-\infty, +\infty)$	$\mathbb{R}$	toată axa

Figura 3 – Intervale nemărginite: săgeata arată că intervalul continuă la nesfârșit

Atenție

Simbolurile $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere, deci nu pot aparține unui interval. De aceea, lângă $+\infty$ și $-\infty$ punem întotdeauna paranteză rotundă: scriem $[2, +\infty)$, niciodată $[2, +\infty]$.

Notații folosite des

• $\mathbb{R}_{+} = [0, +\infty)$ este mulțimea numerelor reale nenegative;
• $\mathbb{R}_{-} = (-\infty, 0]$ este mulțimea numerelor reale nepozitive;
• $\mathbb{R}_{+}^{*} = (0, +\infty)$ este mulțimea numerelor reale strict pozitive;
• $\mathbb{R}_{-}^{*} = (-\infty, 0)$ este mulțimea numerelor reale strict negative;
• $\mathbb{R}^{*} = \mathbb{R} \setminus \{0\} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ este mulțimea numerelor reale nenule.

3.3 Apartenența unui număr la un interval

Metodă

Ca să aflăm dacă un număr aparține unui interval, scriem apartenența ca pe o încadrare și verificăm fiecare inegalitate. De exemplu:

$$x \in [a, b) \iff a \le x \lt b.$$

Exemplul 5. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:

• a) $\sqrt{10} \in (3, 4)$;
• b) $2\sqrt{3} \in [3;\ 3{,}5]$;
• c) $5 \in [-1, 5)$;
• d) $-\pi \in (-\infty, -3]$.

Rezolvare.

• a) $9 \lt 10 \lt 16$, deci $3 \lt \sqrt{10} \lt 4$. Propoziția este adevărată.
• b) $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$ și $9 \lt 12 \lt 12{,}25$, deci $3 \lt 2\sqrt{3} \lt 3{,}5$. Propoziția este adevărată.
• c) Capătul $5$ este exclus (paranteză rotundă), deci $5 \notin [-1, 5)$. Propoziția este falsă.
• d) $\pi \gt 3$, deci $-\pi \lt -3$. Propoziția este adevărată.

Exemplul 6. Determinați numerele întregi din intervalul $I = (-\sqrt{7}, 2\sqrt{3}]$.

Rezolvare. Încadrăm capetele intervalului între întregi consecutivi:

• $4 \lt 7 \lt 9$, deci $2 \lt \sqrt{7} \lt 3$ și $-3 \lt -\sqrt{7} \lt -2$;
• $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$ și $9 \lt 12 \lt 16$, deci $3 \lt 2\sqrt{3} \lt 4$.

Aproximativ, $I \approx (-2{,}65;\ 3{,}46]$. Reprezentăm intervalul pe axă:

Figura 4 – Intervalul I = (−√7, 2√3] conține numerele întregi −2, −1, 0, 1, 2 și 3

Numerele întregi din $I$ sunt $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ și $3$, deci intervalul conține 6 numere întregi.

3.4 Scrierea unor mulțimi sub formă de interval

Exemplul 7. Scrieți sub formă de interval mulțimile:

• a) $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \lt 2x + 3 \le 7\}$;
• b) $B = \{x \in \mathbb{R} \mid \lvert x \rvert \le 3\}$;
• c) $C = \{x \in \mathbb{R} \mid \lvert x - 1 \rvert \lt 2\}$.

Rezolvare.

a) Scădem $3$ din fiecare membru, apoi împărțim la $2 \gt 0$:

$$-1 \lt 2x + 3 \le 7 \iff -4 \lt 2x \le 4 \iff -2 \lt x \le 2,$$

deci $A = (-2, 2]$.

b) Modulul $\lvert x \rvert$ reprezintă distanța de la punctul $x$ la originea axei. Numerele aflate la distanță cel mult $3$ de origine sunt cele cuprinse între $-3$ și $3$, deci $\lvert x \rvert \le 3 \iff -3 \le x \le 3$ și $B = [-3, 3]$.

c) $\lvert x - 1 \rvert \lt 2 \iff -2 \lt x - 1 \lt 2 \iff -1 \lt x \lt 3$, deci $C = (-1, 3)$. Altfel spus, $C$ conține numerele aflate la distanță mai mică decât $2$ de numărul $1$.

Modulul și intervalele

Pentru orice număr $r \gt 0$:

• $\lvert x \rvert \le r \iff -r \le x \le r$, adică $x \in [-r, r]$;
• $\lvert x \rvert \lt r \iff -r \lt x \lt r$, adică $x \in (-r, r)$;
• $\lvert x \rvert \gt r \iff x \lt -r$ sau $x \gt r$, adică $x \in (-\infty, -r) \cup (r, +\infty)$.

Figura 5 – Mulțimile |x| ≤ 3 și |x| > 3 reprezentate pe axă

4. Operații cu intervale

Intervalele sunt mulțimi, deci putem efectua cu ele operațiile pe care le cunoaștem de la mulțimi.

Reamintim

• Reuniunea $A \cup B$ este mulțimea elementelor care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimile $A$ și $B$.
• Intersecția $A \cap B$ este mulțimea elementelor care aparțin ambelor mulțimi.
• Diferența $A \setminus B$ este mulțimea elementelor care aparțin lui $A$, dar nu aparțin lui $B$.

Metodă: lucrăm pe axă

1. Reprezentăm intervalele unul sub altul, pe aceeași axă (cu aceeași unitate de măsură).
2. Ducem linii punctate verticale prin toate capetele.
3. Citim rezultatul pe fiecare porțiune a axei.
4. Pentru fiecare capăt al rezultatului verificăm separat dacă aparține sau nu mulțimii: paranteză pătrată sau rotundă.

Exemplul 8. Fie intervalele $A = [-2, 3)$ și $B = (1, 5]$. Determinați $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$ și $B \setminus A$.

Rezolvare. Reprezentăm intervalele pe axă și citim rezultatele:

Figura 6 – Operații cu intervalele A = [−2, 3) și B = (1, 5]

• $A \cap B = (1, 3)$. Numărul $1$ nu aparține lui $B$, iar $3$ nu aparține lui $A$, deci ambele capete sunt excluse.
• $A \cup B = [-2, 5]$. Avem $-2 \in A$ și $5 \in B$, deci ambele capete sunt incluse.
• $A \setminus B = [-2, 1]$. Numărul $1$ aparține lui $A$ și nu aparține lui $B$, deci rămâne în diferență.
• $B \setminus A = [3, 5]$. Numărul $3$ aparține lui $B$ și nu aparține lui $A$, deci rămâne în diferență.

Atenție la capete

La diferența a două intervale, un capăt exclus din $B$ poate deveni capăt inclus în $A \setminus B$, dacă aparține lui $A$. Verificați de fiecare dată fiecare capăt în parte!

Exemplul 9. Fie intervalele $E = [0, 2]$ și $F = [2, 4)$. Determinați $E \cap F$ și $E \cup F$.

Rezolvare. Intervalele au un singur număr comun, numărul $2$, care aparține ambelor intervale. Deci $E \cap F = \{2\}$ și $E \cup F = [0, 4)$.

Figura 7 – Intervalele E = [0, 2] și F = [2, 4) au un singur număr comun

Observație

Intersecția a două intervale poate avea un singur element sau poate fi chiar mulțimea vidă. De exemplu, $[0, 2) \cap [2, 4) = \emptyset$, deoarece $2 \notin [0, 2)$.

Exemplul 10. Fie intervalele $G = (-\infty, -1)$ și $H = [1, +\infty)$. Determinați $G \cap H$ și $G \cup H$.

Rezolvare. Intervalele nu au niciun element comun, deci $G \cap H = \emptyset$. Reuniunea lor este formată din două „bucăți” separate: $G \cup H = (-\infty, -1) \cup [1, +\infty)$.

Figura 8 – Intervalele G = (−∞, −1) și H = [1, +∞) nu au elemente comune

Observație

Reuniunea a două intervale nu este întotdeauna un interval. În exemplul de mai sus, $G \cup H = \mathbb{R} \setminus [-1, 1)$: din axă „lipsește” bucata $[-1, 1)$.

---