G2 - Relații între puncte, drepte și plane
Punctul, dreapta, planul
Noțiunile fundamentale ale geometriei sunt punctul, dreapta și planul.
Acestea nu se definesc, ci pot fi descrise.
Punctul
Punctul poate fi asemănat cu urma vârfului unui creion bine ascuțit, lăsată pe foaia de hârtie atunci când o atinge.
Îl reprezentăm printr-o bulină sau prin două liniuțe care se intersectează.
Punctele se notează cu litere mari.
O mulțime nevidă de puncte se numește figură geometrică.
Exemple:
A, B, C sunt puncte.
Dreapta
Ne putem imagina dreapta ca pe un fir de ață foarte subțire, bine întins, infinit.
Dreapta este o figură geometrică (o mulțime de puncte) și este nelimitată.
Pentru a reprezenta în desen o dreaptă, utilizăm rigla.
Dreapta se notează cu o literă mică sau cu două litere mari prin care am notat două puncte distincte ce aparțin dreptei.
Exemplu:
În figură avem dreapta a, care poate fi numită și ST, SV sau TV.
Pozițiile relative ale unui punct față de o dreaptă
Față de o dreaptă, un punct poate fi:
- interior (aparține dreptei),
- exterior (nu aparține dreptei).
Exemplu:
În figura de alături avem:
A și C – puncte interioare,
B și D – puncte exterioare dreptei d.
Puncte coliniare și necoliniare
Trei (sau mai multe) puncte sunt coliniare, dacă există o dreaptă care să conțină cele trei puncte.
În caz contrar, se numesc necoliniare.
Exemplu:
Punctele D, E, F sunt coliniare, iar Y, Z, W sunt necoliniare.
Planul
Descriem planul ca pe o suprafață netedă, întinsă la nesfârșit în toate direcțiile, alcătuită din puncte.
Un plan se notează cu o literă din alfabetul grecesc (α, β etc.)
sau prin trei litere mari puse între paranteze rotunde, cu condiția ca cele trei litere să reprezinte notațiile a trei puncte necoliniare ce-i aparțin.
Exemplu:
Planul din figură poate fi numit α sau (ABC).
Determinarea dreptei
Axioma = propoziție adevărată acceptată fără demonstrație (un adevăr evident care nu se poate demonstra folosind alte adevăruri).
Axioma dreptei
Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una.
(Două puncte distincte determină o dreaptă.)
Dreapta d care conține punctele A și B este unică.
Axioma paralelor (axioma lui Euclid)
Printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă cu dreapta dată.
Determinarea planului
Trei puncte necoliniare determină un plan.
O dreaptă și un punct exterior ei determină un plan.
Două drepte concurente determină un plan.
Două drepte paralele determină un plan.
Pozițiile relative a două drepte în spațiu
Drepte paralele – sunt drepte situate în același plan care nu au niciun punct comun.
Drepte concurente – drepte care au un punct comun
Drepte necoplanare – drepte care nu au niciun punct comun și sunt situate în plane diferite.
Drepte confundate (identice) – drepte care coincid (au două puncte comune).
Pozițiile relative ale unei drepte față de un plan
Dreaptă paralelă cu planul – nu are niciun punct comun cu planul.
Dreaptă secantă planului – are un punct comun cu planul.
Dreaptă inclusă în plan – toatepunctele ei aparțin planului.
Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci dreapta este inclusă în plan.
Pozițiile relative a două plane
Plane paralele – nu au niciun punct comun.
Plane secante – au o dreaptă comună.
Dacă două plane au un punct comun atunci ele au o dreaptă comună.
Plane confundate – coincid.
Dacă două plane au trei puncte distincte, necoliniare, comune atunci ele sunt confundate.