G7.3 - Poligoane regulate înscrise în cerc

---

Conturul unei piulițe este un poligon regulat. Piulițele sunt prezente la aproape toate îmbinările dintre două piese ale unei mașini.

Observă și descoperă!

1. Observă dialogul dintre cei doi copii, apoi rezolvă sarcina de lucru propusă:

Sara către Victor: Trebuie să împart un cerc în trei arce congruente și nu reușesc.

Victor: Nu este foarte dificil. Un cerc are $360^\circ$. Dacă cele trei arce sunt congruente, fiecare trebuie să aibă câte $120^\circ$. Construim în jurul punctului $O$, centrul cercului, trei unghiuri cu măsura de $120^\circ$. Ceea ce a rezultat arată ca în Figura 20.

Sarcină: Desenează un cerc și, folosind procedeul descris de Victor, împarte-l în cinci arce congruente.

Figura 20: Cerc împărțit în trei arce congruente

---

Important

Definiție

Numim poligon regulat un poligon cu toate laturile și toate unghiurile congruente.

Exemple:

• Triunghiul echilateral este un poligon regulat.
• Pătratul este un poligon regulat.
• Începând cu poligoanele care au cinci sau mai multe laturi nu mai există denumiri speciale; vom spune pentagon regulat pentru poligonul cu cinci laturi și cinci unghiuri congruente și hexagon regulat pentru poligonul cu șase laturi și șase unghiuri congruente.

---

Cum construiesc un pentagon regulat?

Pasul 1.

Desenez un cerc.

Pasul 2.

Împart cercul în cinci arce congruente, folosind raportorul pentru a obține 5 unghiuri congruente în jurul unui punct. Fiecare arc are $72^\circ$.

Pasul 3.

Unesc punctele determinate la pasul 2.

Justificare:

Avem $AB = BC = CD = DE = EA$, deoarece, într-un cerc, la arce congruente corespund coarde congruente. Acum, unghiul $BAE$ este un unghi înscris în cerc și atunci $\overset{\frown}{BCDE} = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} + \overset{\frown}{DE}$ Cum $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{DE} = 72^\circ$, rezultă $\sphericalangle BAE = \dfrac{3 \cdot 72^\circ}{2} = 108^\circ$ Analog, găsim $\sphericalangle ABC = \sphericalangle BCD = \sphericalangle CDE = \sphericalangle DEA = 108^\circ$. Prin urmare și toate unghiurile sunt congruente. Așadar, $ABCDE$ este un poligon regulat.

---

• Măsura unui unghi al unui poligon regulat cu $n$ laturi este $\dfrac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$

Justificare: Pentru a construi un poligon regulat cu $n$ laturi, un cerc trebuie împărțit în $n$ arce congruente. Măsura unui astfel de arc este egală cu $\dfrac{360^\circ}{n}$. Oricare unghi al poligonului este un unghi înscris în cerc și cuprinde, între laturile sale, $n - 2$ arce cu măsura de $\dfrac{360^\circ}{n}$. Avem, $\sphericalangle A_1 A_2 A_n = \dfrac{(n - 2) \cdot \dfrac{360^\circ}{n}}{2} = \dfrac{(n - 2) \cdot 360^\circ}{2n} = \dfrac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ (măsura unghiului înscris în cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale).

---

Exemplu:

Deoarece pătratul este un poligon regulat, putem verifica: Măsura unui unghi al unui pătrat este:

$\dfrac{(4 - 2) \cdot 180^\circ}{4} = \dfrac{2 \cdot 180^\circ}{4} = 90^\circ$

---