C17.2 - Distanţa dintre două puncte din plan

---

Introducere

Important

Atunci când mergeți în vacanță cu mașina, folosiți diferite sisteme de navigație pentru a vă orienta. Toate aceste sisteme de navigație au în spate un sistem de axe ortogonale și multe calcule matematice.

Exemplu 1

În Figura 1, folosind un sistem de axe ortogonale în plan, Sara a reprezentat punctele $A(4,3)$ și $B(-3,4)$. Determină lungimile segmentelor $OM, ON, OE$ și $OF$. Dacă lungimea segmentului $OF$ este de 4 unități, ce lungime are segmentul $BE$? Sara determină lungimea segmentului $OA$, utilizând teorema lui Pitagora, astfel: în triunghiul dreptunghic $MOA$, $OA^2 = OM^2 + AM^2$, adică $OA^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$, de unde $OA = 5$ unități.

Exemplu 2

Determină, prin același procedeu, lungimea segmentului $OB$.

Figura 1: Puncte în plan

---

Formulă

definitie

Dacă într-un sistem de axe ortogonale avem punctele $A(x_1, y_1)$ și $B(x_2, y_2)$ putem determina lungimea segmentului $AB$ folosind formula: $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Demonstrația formulei: $OA_1 = x_1$ unități, $OB_1 = x_2$ unități, de unde $A_1B_1 = x_2 - x_1$ și atunci $AC = x_2 - x_1$. $OA_2 = y_1$ unități, $OB_2 = y_2$ unități, de unde $A_2B_2 = y_2 - y_1$ și atunci $BC = y_2 - y_1$. Acum, cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$, adică $AB^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$, de unde $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

---

Exersează

PROBLEMĂ REZOLVATĂ

cerințǎ

Se consideră punctele $A(2,1)$, $B(-3,1)$, $C(1,3)$ și $D(4,-1)$. Reprezintă punctele într-un sistem de axe ortogonale și calculează distanțele $AB$ și $CD$.

Rezolvare: În Figura 2 sunt reprezentate cele patru puncte. Observăm, în reprezentarea punctelor în sistemul de axe ortogonale, că $AB = AN + BN$. Cum $AN = 2$ (unități) și $BN = 3$ (unități) rezultă $AB = 5$ (unități).

Avem, conform formulei, $CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2},$ unde $x_2 = 4, x_1 = 1, y_2 = -1, y_1 = 3$. Înlocuim și obținem $CD = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ (unități)}.$

Figura 2: Puncte în plan

---