C17.1 - Sistem de axe ortogonale în plan

---

Produsul cartezian a două mulțimi nevide

Exemplul 1

Sara, cu prietenii ei, Corina, Dan, Victor și Alin sunt în tabără. Într-o seară se organizează un concurs de dans. Cei cinci prieteni hotărăsc să participe și ei cu o pereche de dansatori la acest concurs.

• a) Ce perechi se pot forma, știind că fiecare pereche este formată dintr-un băiat și o fată?
• b) Câte perechi se pot forma? Există o legătură între numărul băieților, numărul fetelor și numărul perechilor ce se pot forma?

Exemplul 2

În Figura 1 este reprezentată o foaie de calcul din Excel. Pentru a indica poziția numărului 10 Sara spune: „numărul aflat în coloana A, pe linia 4”. Cum vei indica poziția numărului 15? Dar poziția numărului 20?

Figura 1: Foaie de calcul din Excel

Exemplul 3

Pe o tablă de șah, Figura 2, sunt trecute, pe una dintre laturi, literele A, B, C, D, E, F, G, H, iar pe cealaltă latură, numerele de la 1 până la 8. Care este scopul acestor notații?

Figura 2: Tablă de șah

---

Definiții și Exemple

Important

• Prin produsul cartezian a două mulțimi $A$ și $B$, notat $A \times B$, înțelegem mulțimea tuturor perechilor $(a, b)$, în care $a$ este element al mulțimii $A$ și $b$ este element al mulțimii $B$.

$A = \{1, 2, 3\}$ și $B = \{a, b\}$, atunci:

• $A \times B = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)\}$
• $B \times A = \{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)\}$

Evident $A \times B \neq B \times A$.

Important

• Numim sistem de axe ortogonale în plan două axe perpendiculare, cu aceeași origine.
• Axa $Ox$ se numește axa absciselor. Pe axa absciselor numerele pozitive se reprezintă în dreapta originii, iar numerele negative în stânga originii.
• Axa $Oy$ se numește axa ordonatelor. Pe axa ordonatelor numerele pozitive se reprezintă deasupra originii, iar numerele negative sub origine.
• Folosind un sistem de axe ortogonale în plan, oricărei perechi de numere $(a, b)$ din produsul cartezian $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ îi asociem un punct din plan și oricărui punct din plan îi corespunde o pereche de numere $(a, b)$ din produsul cartezian $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

Cum asociem unei perechi de numere $(a, b)$ un punct din plan folosind un sistem de axe ortogonale?

Primul număr din pereche, adică $a$, îl reprezentăm pe axa absciselor, adică $Ox$ (la dreapta originii, dacă este pozitiv, sau la stânga originii, dacă este negativ). Al doilea număr din pereche, adică $b$, îl reprezentăm pe axa ordonatelor, adică $Oy$ (deasupra originii, dacă este pozitiv, sau sub origine, dacă este negativ).

Prin punctul obținut pe axa $Ox$, construim o paralelă la axa $Oy$, iar prin punctul obținut pe axa $Oy$, construim o paralelă la axa $Ox$. Punctul aflat la intersecția celor două paralele este punctul corespunzător perechii $(a, b)$.

Scriem: $M(a, b)$. Citim: Punctul $M$ de coordonate $a$ și $b$.

---