G7.1 - Unghi înscris în cerc, coarde şi arce în cerc

---

Exemplu 1

Folosind Figura 1, asociază fiecărui număr din coloana A litera corespunzătoare din coloana B.

A	B
1. $BC$	a) Rază
2. $OA$	b) Diametru
3. $DE$	c) Coardă în cerc care nu este diametru
4. $\overset{\frown}{AE}$	d) Tangentă la cerc
5. $\sphericalangle AOE$	e) Arc de cerc
	f) Unghi la centru

Exemplu 2

În Figura 1, măsura arcului de cerc $AE$ este de $40^\circ$. Ce măsură are unghiul $AOE$?

Exemplu 3

Folosind Figura 2, răspunde la următoarele întrebări:

• a) Cum se numește unghiul $AOB$ în raport cu triunghiul $AOC$?
• b) Ce măsură are unghiul $AOB$ din această figură?
• c) Ce măsură are arcul mic $AB$?

Exemplu 4

Construiește un cerc cu raza de 3 cm și unghiul $BAC$ cu vârful pe cerc și laturile coarde în cerc.

Figura 1

Figura 2

---

Unghi înscris în cerc

Definitie

• Numim unghi înscris în cerc unghiul cu vârful pe cerc și ale cărui laturi conțin două coarde ale cercului.

Exemplu

În Figura 3 unghiul $BAC$ este un unghi înscris în cerc.

• Unghiul înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturi (vezi Figura 1). Ipoteză: $\sphericalangle BAC$ - unghi înscris în cerc Concluzie: $\sphericalangle BAC = \dfrac{\text{m}(\overset{\frown}{BC})}{2}$ Demonstrație: Construim diametrul $AD$ și razele $OB$ și $OC$, atunci $\sphericalangle BAC = \sphericalangle BAD + \sphericalangle CAD$ (*). Triunghiul $AOB$ este isoscel ($OA \equiv OB$), de unde $\sphericalangle BAO \equiv \sphericalangle ABO$.

Figura 3

Pe de altă parte, unghiul $BOD$ este unghi exterior triunghiului $AOB$ și atunci $\sphericalangle BOD = \sphericalangle BAO + \sphericalangle ABO = 2 \cdot \sphericalangle BAD$, de unde $\sphericalangle BAD = \dfrac{\sphericalangle BOD}{2}$. Analog se arată că $\sphericalangle CAD = \dfrac{\sphericalangle COD}{2}$.

Înlocuind în (*) obținem $\sphericalangle BAC = \dfrac{\sphericalangle BOD}{2} + \dfrac{\sphericalangle COD}{2} = \dfrac{\sphericalangle BOC}{2}$.

Cum $\sphericalangle BOC$ este unghi la centru avem $\sphericalangle BOC = \text{m}(\overset{\frown}{BC})$ și atunci $\sphericalangle BAC = \dfrac{\text{m}(\overset{\frown}{BC})}{2}$.

---

Exemplu

Dacă arcul $BC$ are măsura de $100^\circ$, atunci măsura unghiului $BAC$ este egală cu $50^\circ$.

• Orice unghi drept se înscrie într-un semicerc. Demonstrație: Dacă unghiul înscris în cerc are măsura de $90^\circ$, atunci arcul cuprins între laturi are $180^\circ$, adică este un semicerc, iar arcul în care este înscris unghiul este celălalt semicerc.

• Într-un cerc sau în cercuri congruente (cercuri cu raze congruente), la arce congruente corespund coarde congruente (vezi Figura 4). Ipoteză: $\overset{\frown}{AB} \equiv \overset{\frown}{CD}$ Concluzie: $AB \equiv CD$ Demonstrație: Construim razele $OA, OB, OC$ și $OD$. În triunghiurile $AOB$ și $COD$ avem $OA \equiv OC$ și $OB \equiv OD$ (raze în cerc); $\sphericalangle AOB \equiv \sphericalangle COD$ (sunt unghiuri la centru și au măsura egală cu măsura arcului cuprins între laturi). Rezultă, conform cazului L.U.L. de congruență a triunghiurilor, că $\triangle AOB \equiv \triangle COD$, de unde $AB \equiv CD$.

Figura 4

Figura 5

• Într-un cerc sau în cercuri congruente (cercuri cu raze congruente), la coarde congruente corespund arce congruente. Justifică această afirmație, folosind modelul de mai sus!

• În oricare cerc, diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul coardei și prin mijlocul arcului determinat de coardă (vezi Figura 5). Ipoteză: $EF$ - diametru; $EF \perp AB$ Concluzie: $AM \equiv BM$; $\overset{\frown}{AF} \equiv \overset{\frown}{BF}$ Demonstrație: Construim razele $OA$ și $OB$ și obținem triunghiul isoscel $AOB$ ($OA \equiv OB$). În acest triunghi $OM$ este înălțime ($EF \perp AB$) prin urmare este și mediană și bisectoare. Fiind mediană rezultă că $AM \equiv BM$. Fiind bisectoare $\sphericalangle AOF \equiv \sphericalangle BOF$, de unde $\overset{\frown}{AF} \equiv \overset{\frown}{BF}$ (unghiurile la centru au măsura egală cu măsura arcului cuprins între laturi).

• În oricare cerc, dacă un diametru trece prin mijlocul unei coarde, atunci el este perpendicular pe coardă. Justifică această afirmație, folosind modelul de mai sus!

• În oricare cerc, dacă un diametru trece prin mijlocul unui arc, atunci el este perpendicular pe coarda care subîntinde arcul. Justifică această afirmație, folosind modelul de pe pagina precedentă!

• În oricare cerc, coardele congruente sunt egal depărtate de centrul cercului (vezi Figura 6). Ipoteză: $AB \equiv CD$; $OE \perp AB$; $OF \perp CD$; $E \in AB$; $F \in CD$ Concluzie: $OE \equiv OF$ Demonstrație: Avem $AE = BE = \dfrac{AB}{2}$ ($OE$ face parte dintr-un diametru și este perpendicular pe coarda $AB$). Analog $CF = DF = \dfrac{CD}{2}$. Rezultă $BE \equiv FD$. Construim razele $OB$ și $OD$ și obținem triunghiurile dreptunghice $OEB$ și $OFD$ în care $BE \equiv FD$ (din demonstrație) și $OB \equiv OD$ (raze în cerc). Rezultă, conform cazului I.C. de congruență a triunghiurilor dreptunghice, că $\triangle OEB \equiv \triangle OFD$, de unde $OE \equiv OF$.

Figura 6

Figura 7

• În oricare cerc, două coarde paralele determină două arce congruente (vezi Figura 7). Demonstrație: Unim punctul $A$ cu punctul $D$. Dacă $AB \parallel CD$ și $AD$ secantă, atunci $\sphericalangle BAD \equiv \sphericalangle CDA$. De aici, $\dfrac{\overset{\frown}{BD}}{2} = \dfrac{\overset{\frown}{AC}}{2}$, adică $\overset{\frown}{BD} \equiv \overset{\frown}{AC}$.

---