G7.2 - Tangente dintr-un punct exterior la un cerc

---

Pentru a-ți aduce aminte, răspunde următoarele întrebări:

• a) Cum se numește dreapta $d_1$ în raport cu cercul de centru $O_1$? (vezi Figura a)
• b) Cum este distanța de la $O_1$ la $d_1$ față de raza cercului? (vezi Figura a)
• c) Cum se numește dreapta $d_2$ în raport cu cercul de centru $O_2$? (vezi Figura b)
• d) Cum este distanța de la $O_2$ la $d_2$ față de raza cercului? (vezi Figura b)
• e) Cum se numește dreapta $d_3$ în raport cu cercul de centru $O_3$? (vezi Figura c)
• f) Cum este distanța de la $O_3$ la $d_3$ față de raza cercului? (vezi Figura c)

---

important

Dacă o dreaptă este tangentă la cerc, atunci raza în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă.

Exemplu: În Figura 2, dacă $d$ este tangentă la cerc, atunci $OA \perp d$.

---

Cum construim tangenta la cerc într-un punct de pe cerc?

Construim raza $OA$ și apoi perpendiculara în $A$ pe $OA$.

---

Răspunsuri

Dreapta $d_1$ (Figura a)

a) Denumire: Dreapta $d_1$ se numește dreaptă exterioară cercului, deoarece nu are niciun punct comun cu acesta.

b) Distanța: Distanța de la centrul $O_1$ la dreapta $d_1$ este mai mare decât raza cercului ($d > r$).

Dreapta $d_2$ (Figura b)

c) Denumire: Dreapta $d_2$ se numește dreaptă tangentă la cerc, deoarece are un singur punct comun cu acesta. d) Distanța: Distanța de la centrul $O_2$ la dreapta $d_2$ este egală cu raza cercului ($d = r$).

Dreapta $d_3$ (Figura c)

e) Denumire: Dreapta $d_3$ se numește dreaptă secantă cercului, deoarece are două puncte comune cu acesta. f) Distanța: Distanța de la centrul $O_3$ la dreapta $d_3$ este mai mică decât raza cercului ($d < r$).

---

Cum construim tangenta la cerc dintr-un punct exterior cercului?

Pasul 1. Determinăm punctul $B$, mijlocul segmentului $AO$, și construim cercul cu centrul în punctul $B$ și raza $\frac{AO}{2}$.

Pasul 2. Punctele în care cercul construit la pasul 1 intersectează cercul dat sunt punctele de tangență. Dreptele determinate de punctul $A$ cu punctele $T_1$ și $T_2$ sunt tangentele la cerc din punctul exterior $A$.

---

Teorema ciocului de cioară

Dacă $AT_1$ și $AT_2$ sunt tangentele la cerc din punctul exterior $A$, atunci segmentele $AT_1$ și $AT_2$ sunt congruente.

Ipoteză: $AT_1, AT_2$ tangente la cerc
Concluzie: $AT_1 \equiv AT_2$

Demonstrație: În triunghiurile dreptunghice $AOT_1$ și $AOT_2$ avem:

• $AO \equiv AO$ (latură comună);
• $OT_1 \equiv OT_2$ (raze în cerc).

Rezultă, conform cazului IC (ipotenuză-catetă) de congruență a triunghiurilor dreptunghice, că $\triangle AOT_1 \equiv \triangle AOT_2$, de unde $AT_1 = AT_2$.

---