C21.1 - Cel mai mic multiplu comun a două numere naturale

---

Definitie

Cel mai mic multiplu comun al două sau mai multe numere naturale (c.m.m.m.c.) este acel multiplu comun al lor, nenul, care divide toți ceilalți multipli comuni ai numerelor date.

Pentru $a$ și $b$ notăm c.m.m.m.c. al lor cu:

$$[a, b]$$

$M_{15} = \{0, 15, 30, 45, 60, 75, \ldots\}$ – mulțimea multiplilor lui 15.
$M_{10} = \{0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, \ldots\}$ – mulțimea multiplilor lui 10.

$M_{10} \cap M_{15} = \{0, 30, 60, 90, \ldots\}$ – mulțimea multiplilor comuni.

Cel mai mic, nenul, cu proprietatea că îi divide pe ceilalți este 30.

---

Algoritmul de determinare

De Retinut

Pentru a determina cel mai mic multiplu comun pentru două sau mai multe numere naturale procedăm astfel:

1. Descompunem numerele date în produs de puteri de numere prime.
2. Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) va fi egal cu produsul factorilor comuni și necomuni, luați o singură dată, cu exponentul cel mai mare.

---

Reluăm exemplul de mai sus:

$$10 = 2 \cdot 5, \quad 15 = 3 \cdot 5$$

Factorii comuni și necomuni sunt $2$, $3$ și $5$.
La fiecare luăm în considerare exponentul cel mai mare, adică $1$.

Rezultă:

$$[10, 15] = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$$

---

Amintește-ți!

cerințǎ

Completează tabelul. Primul rând este completat ca model.

$a$	$b$	Primii șase multipli nenuli ai lui $a$	Primii șase multipli nenuli ai lui $b$	Multiplii care apar și la $a$ și la $b$ (multipli comuni ai lui $a$ și $b$)	Cel mai mic dintre multiplii comuni	Trei multipli ai celui mai mic multiplu comun
6	4	6, 12, 18, 24, 30, 36	4, 8, 12, 16, 20, 24	12, 24	12	12, 24, 36
2	3
3	9
5	10
8	3

• Ce observi la numerele din coloanele 5 și 6? Dar la numerele din coloanele 6 și 7?

Important

• Oricare două numere naturale nenule au cel puțin un multiplu comun. Acesta este produsul numerelor.
• Dintre toți multiplii comuni, diferiți de 0, a două numere naturale nenule, există un multiplu care este divizor pentru toți ceilalți multipli comuni. Acesta se numește cel mai mic multiplu comun.
• Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale nenule $a$ și $b$ se notează c.m.m.m.c. al numerelor $a$ și $b$ sau $[a, b]$.

---

Exersează!

cerințǎ

Adu la un numitor comun fracțiile:

a) $\dfrac{1}{2}$ și $\dfrac{2}{3}$;   b) $\dfrac{1}{3}$ și $\dfrac{4}{5}$;   c) $\dfrac{2}{9}$ și $\dfrac{5}{4}$;   d) $\dfrac{5}{8}$ și $\dfrac{1}{4}$;   e) $\dfrac{1}{6}$ și $\dfrac{2}{3}$

f) $\dfrac{2}{3}$ și $\dfrac{5}{12}$;   g) $\dfrac{1}{25}$ și $\dfrac{1}{20}$;   h) $\dfrac{1}{143}$ și $\dfrac{1}{91}$;   i) $\dfrac{1}{1001}$ și $\dfrac{1}{143}$.