C20.1 - Cel mai mare divizor comun a două numere naturale

---

Definitie

Cel mai mare divizor comun pentru două sau mai multe numere naturale reprezintă cel mai mare număr natural care divide numerele date și care este divizibil cu toți ceilalți divizori comuni.

Pentru numerele $a$ și $b$ se notează cel mai mare divizor comun al lor cu:

$$(a, b)$$

$D_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ – mulțimea divizorilor lui 12
$D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ – mulțimea divizorilor lui 18

$$D_{12} \cap D_{18} = \{1, 2, 3, 6\}$$

Cel mai mare este 6, deci:

$$(12, 18) = 6$$

Observăm că 6 este divizibil cu ceilalți divizori comuni.

---

Algoritmul de determinare

De retinut

Pentru a determina cel mai mare divizor comun pentru două sau mai multe numere naturale procedăm astfel:

1. Descompunem numerele date în produs de puteri de numere prime.
2. Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) va fi egal cu produsul factorilor comuni, luați o singură dată, cu exponentul cel mai mic.

Reluăm exemplul de mai sus:

$$12 = 2^2 \cdot 3, \quad 18 = 2 \cdot 3^2$$

Factorii comuni sunt $2$ și $3$.
La fiecare luăm în considerare exponentul cel mai mic, deci:

$$(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6$$

---

Observă și descoperă!

Exercițiul 1

Lucrați în perechi. Reproduceți tabelul, apoi completați-l.

$a$	$b$	Divizorii lui $a$	Divizorii lui $b$	Divizorii care apar și la $a$ și la $b$ (divizorii comuni ai lui $a$ și $b$)	Cel mai mare dintre divizorii comuni	Divizorii celui mai mare divizor comun
12	18	1, 2, 3, 4, 6, 12	1, 2, 3, 6, 9, 18	1, 2, 3, 6	6	1, 2, 3, 6
16	24
20	30
14	27

• Ce observați la numerele din coloanele 5 și 6? Dar la numerele din coloanele 5 și 7?

Important

• Oricare două numere naturale nenule au cel puțin un divizor comun. Acesta este 1.
• Dintre toți divizorii comuni ai unor numere naturale nenule, există un divizor care se divide cu toți ceilalți divizori comuni. Acesta se numește cel mai mare divizor comun.
• Cel mai mare divizor comun al numerelor naturale nenule $a$ și $b$ se notează c.m.m.d.c. al numerelor $a$ și $b$ sau $(a, b)$.
• Două numere naturale nenule care au ca divizor comun numai pe 1 se numesc numere prime între ele sau numere relativ prime.

Exersează!

2. Determină cel mai mare divizor comun al numerelor: a) 4 și 6;   b) 15 și 9;   c) 8 și 20;   d) 30 și 45;   e) 18 și 27.

3. Stabilește dacă numerele următoare sunt prime între ele: a) 4 și 9;   b) 15 și 28;   c) 24 și 25;   d) 14 și 15.

4. Pentru fracțiile $\frac{1}{8}, \frac{5}{4}$ și $\frac{2}{7}$, completează un tabel asemănător celui de mai jos.

$\frac{a}{b}$	$c = a \cdot 3$	$d = b \cdot 3$	$\frac{c}{d}$	Stabilește dacă fracțiile din coloanele 1 și 4 sunt echivalente
$\frac{2}{5}$	6	15	$\frac{6}{15}$	$\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$

5. a) Completează, pe caiet, casetele cu numerele potrivite.

b) Stabilește care dintre fracțiile obținute mai sus sunt echivalente cu fracția $\frac{3}{5}$.

6. a) Completează, pe caiet, casetele cu numerele potrivite. b) Verifică dacă fracția obținută este echivalentă cu fracția $\frac{2}{7}$.

---