Skip to main content

Rezolvare Test FINAL Geometrie – Clasa a VIII-a

SUBIECTUL I (14 puncte)​

Ex. 1 (2p) — Volum paralelipiped dreptunghic: 40 × 20 × 30 = 24 000 cm³

Ex. 2 (2p) — Aria totală a cubului cu muchia 6 cm: 6 × 6² = 216 cm²

Ex. 3 (2p) — Piramida hexagonală regulată: 6 muchii la bază + 6 muchii laterale = 12 muchii

Ex. 4 (3p) — Prismă triunghiulară regulată, latura bazei a = 4 cm, înălțimea l = 6 cm.

  • Aria bazei (triunghi echilateral): A_b = (√3/4) × 4² = 4√3 cm²
  • Aria laterală: A_l = Perimetru_bază × h = (3 × 4) × 6 = 72 cm²
  • Aria totală: 72 + 2 × 4√3 = 72 + 8√3 cm²

Ex. 5 (3p) — Piramidă patrulateră regulată, latura bazei a = 5 cm, apotema ap = 4 cm:

  • A_laterală = (Perimetru_bază × apotema) / 2 = (4 × 5 × 4) / 2 = 40 cm²

Ex. 6 (2p) — Aria bazei prismei patrulatere regulate cu latura 5 cm: 5² = 25 cm²

SUBIECTUL AL II-LEA (12 puncte)​

Ex. 1 (2p) — Cub cu muchia 8 cm. 2 fețe galbene: 2 × 8² = 2 × 64 = 128 cm² → d)

Ex. 2 (2p) — Față laterală = dreptunghi cu latura bazei 2 cm și muchia laterală 6 cm: 2 × 6 = 12 cm² → a)

Ex. 3 (2p) — Volum total prismă: 12² × 21 = 144 × 21 = 3024 dm³. Volum compartiment: 3024 / 3 = 1008 dm³ → c)

Ex. 4 (2p) — Tetraedru regulat cu muchia 6 cm are 4 fețe triunghiulare echilaterale:

  • A_totală = 4 × (√3/4) × 6² = 4 × 9√3 = 36√3 cm² → c)

Ex. 5 (2p) — Cub cu muchia 10 cm: V = 1000 cm³ = 1 litru → a) 1 litru

Ex. 6 (2p) — Piramidă patrulateră regulată cu latura bazei 3 cm, apotema 4 cm:

  • A_laterală = (4 × 3 × 4) / 2 = 24 cm² → a)

SUBIECTUL AL III-LEA (18 puncte)​

Trunchi de piramidă triunghiulară regulată ABCA'B'C', cu AB = 18 cm, A'B' = 12 cm, V = 171√3 cm³.

a) Înălțimea trunchiului

Formula volumului trunchiului de piramidă: V=h3(AB+AB′+AB⋅AB′)V = \frac{h}{3}(A_B + A_{B'} + \sqrt{A_B \cdot A_{B'}})

  • A_B = (√3/4) × 18² = 81√3 cm²
  • A_B' = (√3/4) × 12² = 36√3 cm²
  • √(A_B · A_B') = √(81√3 × 36√3) = √(81 × 36 × 3) = √8748 = 54√3 cm²

1713=h3(813+363+543)=h3⋅1713171\sqrt{3} = \frac{h}{3}(81\sqrt{3} + 36\sqrt{3} + 54\sqrt{3}) = \frac{h}{3} \cdot 171\sqrt{3}

h=3 cm⇒h=3 cmh = 3 \text{ cm} \Rightarrow \boxed{h = 3 \text{ cm}}

b) Apotema trunchiului

Apotema marii baze (triunghi echilateral cu latura 18): r=1823=1836=33 cmr = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3} \text{ cm}

Apotema micii baze (latura 12): r′=1223=1236=23 cmr' = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \text{ cm}

Apotema trunchiului (față trapezoidală cu baze 18 și 12, înălțime h = 3): Diferența apotemelor = 3√3 − 2√3 = √3 cm

atrunchi=h2+(Δr)2=32+(3)2=9+3=12=23 cma_{trunchi} = \sqrt{h^2 + (\Delta r)^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm}

atrunchi=23 cm\boxed{a_{trunchi} = 2\sqrt{3} \text{ cm}}

c) Aria totală a trunchiului

Atotala=AB+AB′+AlateralaA_{totala} = A_B + A_{B'} + A_{laterala}

  • A_laterală = [(PB+PB′)×atrunchi]/2=[(54+36)×2√3]/2=90√3cm2[(P_B + P_{B'}) × a_trunchi] / 2 = [(54 + 36) × 2√3] / 2 = 90√3 cm²

Atotala=813+363+903=2073 cm2A_{totala} = 81\sqrt{3} + 36\sqrt{3} + 90\sqrt{3} = \boxed{207\sqrt{3} \text{ cm}^2}

d) Unghiul diedru față laterală – baza mare

Unghiul diedru α se formează între apotema trunchiului și apotema bazei mari:

tan⁡α=hΔr=33=3⇒α=60°\tan\alpha = \frac{h}{\Delta r} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow \alpha = 60°

α=60°\boxed{\alpha = 60°}

e) Aria laterală a piramidei întregi

Raportul de asemănare: k = A'B'/AB = 12/18 = 2/3, deci H_piramida / (H_piramida − h) = 3/2.

Fie H înălțimea piramidei întregi: HH−3=32⇒2H=3H−9⇒H=9 cm\frac{H}{H - 3} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2H = 3H - 9 \Rightarrow H = 9 \text{ cm}

Apotema piramidei întregi (de la vârf la mijlocul laturii bazei): apiramida=H2+r2=81+27=108=63 cma_{piramida} = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{81 + 27} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ cm}

Alat=PB×apiramida2=54×632=1623 cm2A_{lat} = \frac{P_B \times a_{piramida}}{2} = \frac{54 \times 6\sqrt{3}}{2} = \boxed{162\sqrt{3} \text{ cm}^2}

f) Volumul piramidei întregi

Vpiramida=13×AB×H=13×813×9=2433 cm3V_{piramida} = \frac{1}{3} \times A_B \times H = \frac{1}{3} \times 81\sqrt{3} \times 9 = \boxed{243\sqrt{3} \text{ cm}^3}

SUBIECTUL AL IV-LEA (16 puncte)​

Ex. 1 → c) Inclusă în plan

Ex. 2 → c) Confundate (3 puncte necoliniare determină un plan unic)

Ex. 3 → b) Necoplanare (drepte gauche)

Ex. 4 → c) Dreptunghiuri

Ex. 5 — Generatoarea = 10 cm, cilindru circular drept → generatoarea = înălțimea → a) 10 cm

Ex. 6 — Prismă hexagonală dreaptă, toate muchiile 2 cm. Are 6 fețe laterale dreptunghiulare (2 × 2):

  • A_laterală = 6 × (2 × 2) = 24 cm² → c)

Ex. 7 — Tetraedru regulat are 6 muchii: 6a = 36 → a = 6 cm → b)

Ex. 8 — Piramidă triunghiulară regulată, latura bazei a = 8 cm, muchia laterală l = 5 cm.

  • Apotema feței laterale: ap = √(l² − (a/2)²) = √(25 − 16) = 3 cm
  • Aria unei fețe laterale = (8 × 3)/2 = 12 cm² → b)

SUBIECTUL AL V-LEA (20 puncte)​

Ex. 1 (5p) — Piramidă patrulateră regulată, toate muchiile = 10 cm (baze și laterale).

Fiecare față laterală este un triunghi isoscel cu baza 10 cm și laturile egale cu 10 cm (triunghi echilateral):

  • 4 fețe laterale, fiecare cu perimetrul = 10 + 10 + 10 = 30 cm
  • Suma perimetrelor = 4 × 30 = 120 cm

Ex. 2 (4p) — Prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D', latura bazei = a, muchii laterale AA' = BB' = CC' = DD' (toate egale într-o prismă regulată). Media aritmetică a celor 4 muchii laterale = înălțimea h.

Condiția: h = a ⟹ înălțimea = latura bazei ⟹ prisma este cub. ✓

(Demonstrație: O prismă patrulateră regulată are baza pătrat cu latura a și înălțimea h. Dacă h = a, atunci toate muchiile sunt egale, deci prisma este cub.)

Ex. 3 (5p) — Con circular drept, AB diametru, triunghi VAB echilateral, generatoarea l = 8 cm.

Deoarece triunghi VAB e echilateral și VA = VB = 8 cm (generatoare), rezultă AB = 8 cm, deci raza r = 4 cm.

a) Aria triunghiului VAB (echilateral cu latura 8): AVAB=34×82=34×64=163 cm2A_{VAB} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = \boxed{16\sqrt{3} \text{ cm}^2}

b) Lungimea cercului bazei: C=2πr=2π×4=8π cmC = 2\pi r = 2\pi \times 4 = \boxed{8\pi \text{ cm}}

c) Aria bazei: Abaza=πr2=π×16=16π cm2A_{baza} = \pi r^2 = \pi \times 16 = \boxed{16\pi \text{ cm}^2}

Ex. 4 (6p) — Prismă triunghiulară dreaptă ABCDEF, baza ABC triunghi echilateral, AB = 8 cm, AD = (3/4)AB = 6 cm.

a) Aria bazei ABC: AABC=34×82=34×64=163 cm2A_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = \boxed{16\sqrt{3} \text{ cm}^2}

b) Aria laterală: Alat=Pbaza×h=(3×8)×6=144 cm2A_{lat} = P_{baza} \times h = (3 \times 8) \times 6 = \boxed{144 \text{ cm}^2}

c) Cilindru circular drept cu generatoarea = AD = 6 cm, A, B, C pe cercul bazei.

Cercul circumscris triunghiului echilateral ABC cu latura 8 cm: R=a3=83=833 cmR = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ cm}

Aria bazei cilindrului: A=πR2=π×64×39=192π9=64π3 cm2A = \pi R^2 = \pi \times \frac{64 \times 3}{9} = \frac{192\pi}{9} = \boxed{\frac{64\pi}{3} \text{ cm}^2}

prof. ing. BRIȘAN Andrei-Sebastian