G4 - Drepte paralele

---

Definiție și notație

definitie

Două drepte din același plan, care nu au niciun punct comun, se numesc drepte paralele.

Exemplu

În figura de mai jos avem dreptele $a$ și $b$ paralele și dreptele $c$ și $d$ care nu sunt paralele.

• Scriem $a \parallel b$ și citim "a paralel cu b".
• De asemenea, putem scrie $a \cap b = \emptyset$.

---

Axioma paralelelor (Axioma lui Euclid)

De Reținut

Printr-un punct exterior unei drepte se poate construi o unică paralelă la acea dreaptă.

Exemplu

Fie dreapta $a$ și punctul exterior ei, $A$, din figura alăturată. Dreapta $d$ astfel încât $d \parallel a$ este unică.

---

Proprietăți

De aici obținem:

• Tranzitivitatea relației de paralelism: Două drepte distincte, paralele cu o a treia sunt paralele între ele (vezi Figura 1). $a \parallel b, b \parallel c \Rightarrow a \parallel c$

• Dacă două drepte sunt paralele, atunci orice dreaptă care o intersectează pe una o intersectează și pe cealaltă (vezi Figura 2). $d \parallel e, s \text{ intersectează } d \Rightarrow s \text{ intersectează } e$

Figura 1

Figura 2

---

Criterii de paralelism

Unghiuri formate de două drepte cu o secantă

Două drepte tăiate de o secantă formează 8 unghiuri care au denumiri specifice.

Astfel, identificăm:

• ✓ Unghiuri interne: $\sphericalangle 3, \sphericalangle 4, \sphericalangle 5, \sphericalangle 6$
• ✓ Unghiuri externe: $\sphericalangle 1, \sphericalangle 2, \sphericalangle 7, \sphericalangle 8$
• ✓ Unghiuri alterne interne: perechile ($\sphericalangle 4$ și $\sphericalangle 6$), ($\sphericalangle 3$ și $\sphericalangle 5$)
• ✓ Unghiuri alterne externe: perechile ($\sphericalangle 1$ și $\sphericalangle 7$), ($\sphericalangle 2$ și $\sphericalangle 8$)
• ✓ Unghiuri corespondente: perechile ($\sphericalangle 1$ și $\sphericalangle 5$), ($\sphericalangle 2$ și $\sphericalangle 6$), ($\sphericalangle 4$ și $\sphericalangle 8$), ($\sphericalangle 3$ și $\sphericalangle 7$)
• ✓ Unghiuri interne de aceeași parte a secantei: ($\sphericalangle 4$ și $\sphericalangle 5$), ($\sphericalangle 3$ și $\sphericalangle 6$)
• ✓ Unghiuri externe de aceeași parte a secantei: ($\sphericalangle 8$ și $\sphericalangle 1$), ($\sphericalangle 7$ și $\sphericalangle 2$)

---

Teoreme de paralelism

Teoremă (1)

Două drepte paralele tăiate de o secantă formează:

• ✓ perechi de unghiuri alterne interne congruente: $\sphericalangle 4 \equiv \sphericalangle 6$; $\sphericalangle 3 \equiv \sphericalangle 5$;
• ✓ perechi de unghiuri alterne externe congruente: $\sphericalangle 1 \equiv \sphericalangle 7$; $\sphericalangle 2 \equiv \sphericalangle 8$;
• ✓ perechi de unghiuri corespondente congruente: $\sphericalangle 1 \equiv \sphericalangle 5$; $\sphericalangle 2 \equiv \sphericalangle 6$; $\sphericalangle 4 \equiv \sphericalangle 8$; $\sphericalangle 3 \equiv \sphericalangle 7$;
• ✓ perechi de unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare: $m(\sphericalangle 4) + m(\sphericalangle 5) = 180^\circ$; $m(\sphericalangle 3) + m(\sphericalangle 6) = 180^\circ$;
• ✓ perechi de unghiuri externe de aceeași parte a secantei suplementare: $m(\sphericalangle 1) + m(\sphericalangle 8) = 180^\circ$; $m(\sphericalangle 2) + m(\sphericalangle 7) = 180^\circ$.

---

Teoremă (2) - Criterii de paralelism

Dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne interne (sau alterne externe sau corespondente) congruente, atunci dreptele sunt paralele.

De asemenea, dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri interne (sau externe) de aceeași parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.

---