C18.2 - Opusul, modulul și compararea numerelor raționale

---

Reprezentarea pe axa numerelor

Oricărui număr rațional $x$ îi corespunde un punct $A$ pe axa numerelor, notăm $A(x)$ și spunem că punctul $A$ are abscisa $x$.

Pe axa numerelor fixăm originea, o unitate de măsură, sensul pozitiv este de la origine la dreapta, iar cel negativ de la origine la stânga.

---

Opusul unui număr rațional

definitie

Două numere raționale se numesc opuse, dacă punctele corespunzătoare acestor numere sunt simetrice față de origine (la aceeași distanță de origine și în sensuri diferite).

Exemple

• opusul lui $+\dfrac{3}{4}$ este $-\dfrac{3}{4}$    opusul lui $-4,67$ este $+4,67$
• opusul lui $-\dfrac{9}{2}$ este $+\dfrac{9}{2}$    opusul lui $+0,14(6)$ este $-0,14(6)$

În general: opusul numărului $x$ se notează $-x$, opusul numărului $-x$ este $x$, adică $-(-x) = x$.

---

Modulul unui număr rațional

definitie

Dacă $a \in \mathbb{Q}$, modulul său este dat prin definiția:

$$|a| = \begin{cases} a, & \text{dacă } a > 0 \\ 0, & \text{dacă } a = 0 \\ -a, & \text{dacă } a < 0 \end{cases}$$

Adică, modulul unui număr pozitiv este el însuși și al unui număr negativ este opusul său.

De Retinut

În termen geometric, modulul unui număr rațional înseamnă distanța de la origine până la punctul corespunzător numărului. În concluzie, modulul oricărui număr rațional este un număr pozitiv.

$\forall a \in \mathbb{Q} \implies a \ge 0 \quad (\text{Notă: în contextul modulului, } |a| \ge 0)$

Exemple:

$\left|+\dfrac{2}{9}\right| = \dfrac{2}{9} \quad, \quad \left|-\dfrac{11}{15}\right| = \dfrac{11}{15} \quad, \quad |-4,15| = 4,15 \quad, \quad |+1,(19)| = 1,(19)$

---

Compararea și ordonarea numerelor raționale

definitie

Spunem că numărul $a$ este mai mic decât numărul $b$, dacă punctul $A(a)$ se găsește pe axa numerelor la stânga față de punctul $B(b)$ și vom scrie $a < b$.

Cu alte cuvinte, parcurgând axa numerelor de la stânga la dreapta, numerele raționale cresc.

Observații:

1. Orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ.
2. Dintre două numere pozitive mai mare este cel cu modulul mai mare.
3. Dintre două numere negative mai mare este cel cu modulul mai mic.
4. Orice număr pozitiv este mai mare decât 0 și orice negativ mai mic decât 0.

Exemple

$-\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{2} \quad , \quad \dfrac{3}{4} > -\dfrac{15}{2} \quad , \quad -0,46 < -0,01 \quad , \quad -3,(11) < -3,11$

---