Skip to main content

C19.2 - Inmulțirea și împărțirea numerelor raționale

1. Înmulțirea numerelor raționale. Proprietăți​

Definiție: Produsul a două numere raționale aa și bb este un număr rațional, notat a⋅ba \cdot b.

Operația prin care se obține produsul a două numere se numește înmulțire.

Pentru a înmulți două numere raționale înmulțim modulele lor (care sunt numere raționale pozitive) și aplicăm regula semnelor de la numere întregi.

Formulă

Dacă ab,cd∈Q\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q}, atunci: ab⋅cd=a⋅cb⋅d(a,c∈Z,b,d∈Z∖{0})\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d} \quad (a, c \in \mathbb{Z}, b, d \in \mathbb{Z} \setminus \{0\})

Observație: Dacă unul sau ambele numere raționale ab,cd\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} sunt reprezentate de fracții zecimale periodice, atunci fracțiile zecimale se transformă în fracții ordinare ireductibile și apoi se efectuează înmulțirea.

Proprietățile înmulțirii:​

  1. Comutativitatea: a⋅b=b⋅a,∀a,b∈Qa \cdot b = b \cdot a, \quad \forall a, b \in \mathbb{Q}.
  2. Asociativitatea: (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c),∀a,b,c∈Q(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c), \quad \forall a, b, c \in \mathbb{Q}.
  3. 1 este element neutru: a⋅1=1⋅a=a,∀a∈Qa \cdot 1 = 1 \cdot a = a, \quad \forall a \in \mathbb{Q}.
  4. Distributivitatea față de adunare și scădere: x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅z,∀x,y,z∈Qx \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z, \quad \forall x, y, z \in \mathbb{Q} x⋅(y−z)=x⋅y−x⋅z,∀x,y,z∈Qx \cdot (y - z) = x \cdot y - x \cdot z, \quad \forall x, y, z \in \mathbb{Q}

Observație: Orice număr rațional nenul aa are un invers notat 1a\dfrac{1}{a} sau a−1a^{-1} care are proprietatea că: a−1⋅a=1, respectiv 1a⋅a=1a^{-1} \cdot a = 1, \text{ respectiv } \dfrac{1}{a} \cdot a = 1

2. Împărțirea numerelor raționale​

Definiție: Câtul a două numere raționale aa și b,(b≠0)b, (b \neq 0) este un număr rațional.

Operația prin care se obține câtul a două numere se numește împărțire. Notația a:ba:b sau ab\dfrac{a}{b}.

Împărțirea a două numere raționale se face înmulțind deîmpărțitul cu inversul împărțitorului.
Formulă

Dacă ab,cd∈Q\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q}, atunci: ab:cd=ab⋅dc=a⋅db⋅c(a∈Z,b,c,d∈Z∖{0})\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} \quad (a \in \mathbb{Z}, b, c, d \in \mathbb{Z} \setminus \{0\})

Observație: Dacă unul sau ambele numere raționale ab,cd\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} sunt reprezentate de fracții zecimale periodice, atunci fracțiile zecimale se transformă în fracții ordinare ireductibile și apoi se efectuează împărțirea.

prof. ing. BRIȘAN Andrei-Sebastian