Skip to main content

C16 - Ecuații în mulțimea numerelor întregi

definitie

O egalitate în care apare un termen necunoscut sau în care apar mai mulți termeni necunoscuți, se numește ecuație.

Termenul necunoscut este notat de regulă cu o literă, cel mai adesea cu xx.

Numărul xx se numește necunoscuta ecuației.

EXEMPLE: a) x+3=−13x + 3 = -13 b) 14−3x=5x−1014 - 3x = 5x - 10 c) x⋅(2y+1)=13x \cdot (2y + 1) = 13

  • A rezolva o ecuație în mulțimea numerelor întregi, înseamnă a determina (afla) toate valorile întregi ale lui xx, care verifică ecuația (egalitatea) dată.
  • Aceste valori se numesc soluții ale ecuației, iar mulțimea formată din aceste valori se numește mulțimea soluțiilor ecuației și se notează, de regulă, cu SS.

Rezolvarea ecuațiilor​

Pentru a rezolva o ecuație, se izolează necunoscuta într-un membru al egalității, aplicând proprietățile operațiilor cu numere întregi care păstrează relația de egalitate.

Exemplu

x+10=7⇒x=7−10⇒x=−3⇒S={−3}x + 10 = 7 \Rightarrow x = 7 - 10 \Rightarrow x = -3 \Rightarrow S = \{-3\}

Ecuații echivalente​

Două ecuații care au aceeași mulțime de soluții se numesc ecuații echivalente.

Exemplu

(1) 2+x=−5⇒x=−5−2⇒x=−7⇒S={−7}2 + x = -5 \Rightarrow x = -5 - 2 \Rightarrow x = -7 \Rightarrow S = \{-7\}
(2) x−4=−11⇒x=−11+4⇒x=−7⇒S={−7}x - 4 = -11 \Rightarrow x = -11 + 4 \Rightarrow x = -7 \Rightarrow S = \{-7\}

Ecuațiile (1) și (2) au aceeași mulțime a soluțiilor, deci sunt echivalente.

Ecuații echivalente cu o ecuație dată se obțin prin următoarele metode:

  • adunând sau scăzând din ambii membri ai ecuației același număr;
  • înmulțind sau împărțind ambii membri ai ecuației cu același număr nenul.

Exemple rezolvate​

1. 13+3x=−2∣−13⇔3x=−2−13⇔3x=−15∣:3⇔x=−15:3⇔x=−5⇒S={−5}13 + 3x = -2 \mid -13 \Leftrightarrow 3x = -2 - 13 \Leftrightarrow 3x = -15 \mid :3 \Leftrightarrow x = -15 : 3 \Leftrightarrow x = -5 \Rightarrow S = \{-5\}

2. 2x+5=x−3∣−5⇔2x=x−3−5∣−x⇔2x−x=−3−5⇔x=−8⇒S={−8}2x + 5 = x - 3 \mid -5 \Leftrightarrow 2x = x - 3 - 5 \mid -x \Leftrightarrow 2x - x = -3 - 5 \Leftrightarrow x = -8 \Rightarrow S = \{-8\}

3. −6(x−5)+3=−15∣−3⇔−6(x−5)=−18∣:(−6)⇔x−5=3∣+5⇔x=8⇒S={8}-6(x - 5) + 3 = -15 \mid -3 \Leftrightarrow -6(x - 5) = -18 \mid :(-6) \Leftrightarrow x - 5 = 3 \mid +5 \Leftrightarrow x = 8 \Rightarrow S = \{8\}

4. ∣2x+1∣=7⇔|2x + 1| = 7 \Leftrightarrow

  • 2x+1=7⇔2x=7−1⇔2x=6⇔x=32x + 1 = 7 \Leftrightarrow 2x = 7 - 1 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3
  • 2x+1=−7⇔2x=−7−1⇔2x=−8⇔x=−42x + 1 = -7 \Leftrightarrow 2x = -7 - 1 \Leftrightarrow 2x = -8 \Leftrightarrow x = -4
    ⇒S={−4,3}\Rightarrow S = \{-4, 3\}

5. x⋅(2y+1)=13x \cdot (2y + 1) = 13

  • {x=12y+1=13⇒{x=12y=12⇒{x=1y=6\begin{cases} x = 1 \\ 2y + 1 = 13 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ 2y = 12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 6 \end{cases}
  • {x=−12y+1=−13⇒{x=−12y=−14⇒{x=−1y=−7\begin{cases} x = -1 \\ 2y + 1 = -13 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ 2y = -14 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ y = -7 \end{cases}

⇒S={(1,6);(−1,−7)}\Rightarrow S = \{(1, 6); (-1, -7)\}

Observații​

1. Există ecuații care nu au nici o soluție (S=∅S = \emptyset)​

Exemple

a) Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația: −3(2x−6)+1=25-3(2x - 6) + 1 = 25. Rezolvare: −3(2x−6)+1=25⇔−3(2x−6)=25−1⇔−3(2x−6)=24∣:(−3)⇔2x−6=−8∣+6⇔2x=−2∣:2⇔x=−1-3(2x - 6) + 1 = 25 \Leftrightarrow -3(2x - 6) = 25 - 1 \Leftrightarrow -3(2x - 6) = 24 \mid :(-3) \Leftrightarrow 2x - 6 = -8 \mid +6 \Leftrightarrow 2x = -2 \mid :2 \Leftrightarrow x = -1. Dar x=−1∉Nx = -1 \notin \mathbb{N}. Așadar ecuația nu are soluție ⇒S=∅\Rightarrow S = \emptyset.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația: 2(x−5)−3x=6−x2(x - 5) - 3x = 6 - x. Rezolvare: 2(x−5)−3x=6−x⇔2x−10−3x=6−x⇔−x−10=6−x∣+x⇔−10=62(x - 5) - 3x = 6 - x \Leftrightarrow 2x - 10 - 3x = 6 - x \Leftrightarrow -x - 10 = 6 - x \mid +x \Leftrightarrow -10 = 6. Fals, deci ecuația nu are soluție ⇒S=∅\Rightarrow S = \emptyset.

2. Există ecuații care au o infinitate de soluții (S=ZS = \mathbb{Z})​

Exemplu

Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația: 2(x+5)−3x−4=6−x2(x + 5) - 3x - 4 = 6 - x. Rezolvare: 2(x+5)−3x−4=6−x⇔2x+10−3x−4=6−x⇔6−x=6−x⇔0=02(x + 5) - 3x - 4 = 6 - x \Leftrightarrow 2x + 10 - 3x - 4 = 6 - x \Leftrightarrow 6 - x = 6 - x \Leftrightarrow 0 = 0. Adevărat, deci ecuația are o infinitate de soluții (orice număr întreg este soluție a ecuației) ⇒S=Z\Rightarrow S = \mathbb{Z}.

Aplicații în geometrie​

1. Dimensiunile unui dreptunghi sunt exprimate în centimetri. Lungimea dreptunghiului este 14 cm14 \text{ cm}, iar lățimea −5x cm-5x \text{ cm}. Să se determine xx știind că aria dreptunghiului este de 140 cm2140 \text{ cm}^2.

Rezolvare: Adreptunghi=L⋅l⇒140=14⋅(−5x)∣:14⇒10=−5x∣:(−5)⇒x=−2A_{dreptunghi} = L \cdot l \Rightarrow 140 = 14 \cdot (-5x) \mid :14 \Rightarrow 10 = -5x \mid :(-5) \Rightarrow x = -2

2. Laturile unui triunghi au dimensiunile exprimate în centimetri egale cu 9−2x9 - 2x, −12x-12x, respectiv 15+x15 + x. Să se determine xx știind că perimetrul triunghiului este de 34−3x34 - 3x.

Rezolvare: Ptriunghi=a+b+cP_{triunghi} = a + b + c ⇒34−3x=(9−2x)+(−12x)+(15+x)\Rightarrow 34 - 3x = (9 - 2x) + (-12x) + (15 + x) ⇒34−3x=9−2x−12x+15+x\Rightarrow 34 - 3x = 9 - 2x - 12x + 15 + x ⇒34−3x=24−13x∣−24\Rightarrow 34 - 3x = 24 - 13x \mid -24 ⇒10−3x=−13x∣+3x\Rightarrow 10 - 3x = -13x \mid +3x ⇒10=−10x⇒x=−1\Rightarrow 10 = -10x \Rightarrow x = -1

prof. ing. BRIȘAN Andrei-Sebastian