C19.3 - Ridicarea la putere a numerelor raționale

---

Puterea cu exponent număr întreg a unui număr rațional

Definiția 1.1. Puterea cu exponent număr natural a unui număr rațional nenul se definește la fel ca puterea cu exponent natural a unui număr întreg.

Pentru orice număr rațional nenul $a$ și pentru orice număr natural $n \ge 2$, puterea $n$ a lui $a$ este produsul $n$ care factorul $a$ apare de $n$ ori. Acest produs se notează $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ factori}}$.

Exemplu

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{2^4}{3^4} = \dfrac{16}{81}$

• Observație: În scrierea $a^n$ unde $a$ este număr rațional nenul și $n$ este număr natural $n \ge 2$, $a$ se numește baza puterii, iar $n$ se numește exponentul puterii.

• Observație: $a^0 = 1, \forall a \in \mathbb{Q}^*$.

Exemplu

$\left(\dfrac{5}{6}\right)^0 = 1$

Notă: $0^0$ nu are sens (nedeterminare).

Definiția 1.2. Puterea cu exponent număr negativ a unui număr rațional nenul se definește astfel:

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \quad \forall a \in \mathbb{Q}^*, n \in \mathbb{N}^*$

Exemplu

$7^{-2} = \dfrac{1}{7^2} = \dfrac{1}{49}$

• Observație: Dacă $\dfrac{a}{b} \in \mathbb{Q}, n \in \mathbb{Z}_+$, atunci $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \quad (a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*)$.

Exemplu

$\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{4^2}{3^2} = \dfrac{16}{9}$

• Observație: Dacă numărul rațional $a$ este reprezentat printr-o fracție zecimală periodică, atunci fracția zecimală se transformă în fracție ordinară ireductibilă și apoi se efectuează ridicarea la putere.

• Observație: Dacă ridicăm un număr rațional negativ la o putere pară obținem un număr rațional pozitiv.

$(-a)^{2n} = a^{2n}, \forall a \in \mathbb{Q}^*, n \in \mathbb{Z}$

Exemplu

$\left(-\dfrac{5}{7}\right)^2 = \left(\dfrac{5}{7}\right)^2 = \dfrac{25}{49}$

• Observație: Dacă ridicăm un număr rațional negativ la o putere impară obținem un număr rațional negativ.

$(-a)^{2n+1} = -a^{2n+1}, \forall a \in \mathbb{Q}^*, n \in \mathbb{Z}$

Exemplu

$\left(-\dfrac{1}{4}\right)^3 = -\left(\dfrac{1}{4}\right)^3 = -\dfrac{1}{64}$

• Observație: $a^{-n} = (a^{-1})^n = (a^n)^{-1}, \forall a \in \mathbb{Q}^*, n \in \mathbb{Z}$

Exemplu

$\left(\dfrac{6}{7}\right)^{-2} = \left(\left(\dfrac{6}{7}\right)^{-1}\right)^2 = \left(\left(\dfrac{6}{7}\right)^2\right)^{-1} = \left(\dfrac{36}{49}\right)^{-1} = \dfrac{49}{36}$

---

Reguli de calcul cu puteri

1) Înmulțirea puterilor care au aceeași bază:

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\dfrac{a}{b}\right)^m = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n+m}, \quad \forall a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*, m, n \in \mathbb{Z}$

Exemplu

$\left(\dfrac{2}{7}\right)^{21} \cdot \left(\dfrac{2}{7}\right)^9 = \left(\dfrac{2}{7}\right)^{21+9} = \left(\dfrac{2}{7}\right)^{30}$

2) Împărțirea puterilor care au aceeași bază:

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n : \left(\dfrac{a}{b}\right)^m = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n-m}, \quad \forall a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*, m, n \in \mathbb{Z}$

Exemplu

$\left(\dfrac{5}{6}\right)^{44} : \left(\dfrac{5}{6}\right)^{25} = \left(\dfrac{5}{6}\right)^{44-25} = \left(\dfrac{5}{6}\right)^{19}$

3) Puterea unei puteri:

$\left[\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\right]^m = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n \cdot m}, \quad \forall a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*, m, n \in \mathbb{Z}$

Exemplu

$\left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^7\right]^6 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{7 \cdot 6} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{42}$

4) Puterea unui produs:

$\left(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}\right)^n = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\dfrac{c}{d}\right)^n, \quad \forall a, c \in \mathbb{Z}, b, d \in \mathbb{Z}^*, m, n \in \mathbb{Z}$

Exemplu

$\left(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{5}\right)^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{1}{27} \cdot \dfrac{8}{125} = \dfrac{8}{3375}$

---