Skip to main content

C17 - Inecuații în mulțimea numerelor întregi

Definiții și proprietăți​

definitie

Inegalitățile de forma ax+b>0ax + b > 0 (sau <,≥,≤<, \ge, \le), unde a≠0,a,b∈Za \neq 0, a, b \in \mathbb{Z}, se numesc inecuații cu necunoscuta xx.

definitie

A rezolva o inecuație înseamnă a determina valorile pe care le ia necunoscuta pentru ca inegalitatea să fie adevărată; aceste valori sunt numite soluția sau mulțimea soluțiilor inecuației.

Proprietățile inecuațiilor​

  • Dacă adunăm (scădem) la ambii membri ai unei inecuații același număr, obținem o inecuație echivalentă cu cea dată.
  • Dacă înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inecuații cu același număr întreg pozitiv, obținem o inecuație echivalentă cu cea dată.
  • Dacă înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inecuații cu același număr întreg negativ și schimbăm sensul inecuației, obținem o inecuație echivalentă cu cea dată.

Etapele de rezolvare ale inecuațiilor:​

  1. Separarea termenilor;
  2. Efectuarea calculelor în fiecare membru;
  3. Obținerea soluției, prin împărțirea ambilor membri ai ecuației la coeficientul necunoscutei (cu atenție la semn!);
  4. Concluzie.

Exemple rezolvate​

Exemplul 1

Se consideră inecuația: 5x−3≥3x+1,x∈M,M={−1,0,2,3,4}5x - 3 \ge 3x + 1, x \in M, M=\{-1, 0, 2, 3, 4\}

a) Care este necunoscuta inecuației? Necunoscuta inecuației 5x−3≥3x+1,x∈M5x - 3 \ge 3x + 1, x \in M este xx.

b) Câți termeni are inecuația? Inecuația are patru termeni.

c) Numiți termenii inecuației care conțin necunoscuta și termenii liberi. Termenii inecuației care conțin necunoscuta sunt 5x5x și 3x3x. Termenii liberi sunt −3-3 și 11.

d) Numiți coeficienții termenilor care conțin necunoscuta. Coeficienții termenilor care conțin necunoscuta sunt 55 și 33.

e) Arătați că numărul întreg -1 nu este soluție a inecuației, iar numărul întreg 3 este soluție a inecuației. Numărul întreg −1-1 nu este soluție a inecuației deoarece nu verifică inecuația. Într-adevăr: 5⋅(−1)−3=−8 și 3⋅(−1)+1=−25 \cdot (-1) - 3 = -8 \text{ și } 3 \cdot (-1) + 1 = -2 Deci 5⋅(−1)−3≤−25 \cdot (-1) - 3 \le -2 (fals pentru condiția ≥\ge).

f) Rezolvați inecuația. Pentru rezolvarea inecuației, parcurgem cele patru etape de rezolvare, bazate pe proprietățile inecuațiilor.

  1. Separăm termenii care conțin necunoscuta de termenii liberi. Rezultă inecuația 5x−3x≥3+1,x∈M5x - 3x \ge 3 + 1, x \in M
  2. Efectuăm calculele și obținem inecuația 2x≥4,x∈M2x \ge 4, x \in M.
  3. Împărțim ambii membri ai inecuației cu coeficientul necunoscutei obținem x≥2,x∈Mx \ge 2, x \in M.
  4. Stabilim mulțimea soluțiilor inecuației: S={2,3,4}S = \{2, 3, 4\} (elementele din MM care sunt ≥2\ge 2).
Exemplul 2

Rezolvați, în mulțimea numerelor întregi, inecuațiile:

a) 7x+3≤−187x + 3 \le -18 b) 5x+12>2x+305x + 12 > 2x + 30 c) 2(3−x)<10−4x2(3 - x) < 10 - 4x d) −4(x+3)≥−12x+28-4(x + 3) \ge -12x + 28

Rezolvare:

a) 7x+3≤−18⇔7x≤−18−3⇔7x≤−21⇔x≤−37x + 3 \le -18 \Leftrightarrow 7x \le -18 - 3 \Leftrightarrow 7x \le -21 \Leftrightarrow x \le -3 Deoarece x∈Zx \in \mathbb{Z}, obținem S={...,−6,−5,−4,−3}S = \{..., -6, -5, -4, -3\}.

b) 5x+12>2x+30⇔5x−2x>30−12⇔3x>18⇔x>65x + 12 > 2x + 30 \Leftrightarrow 5x - 2x > 30 - 12 \Leftrightarrow 3x > 18 \Leftrightarrow x > 6 Deoarece x∈Zx \in \mathbb{Z}, obținem S={7,8,9,...}S = \{7, 8, 9, ...\}.

c) 2(3−x)<10−4x∣:2⇔3−x<5−2x⇔2x−x<5−3⇔x<22(3 - x) < 10 - 4x \mid :2 \Leftrightarrow 3 - x < 5 - 2x \Leftrightarrow 2x - x < 5 - 3 \Leftrightarrow x < 2 Deoarece x∈Zx \in \mathbb{Z}, obținem S={...,−1,0,1}S = \{..., -1, 0, 1\}.

d) −4(x+3)≥−12x+28⇔x+3≤3x−7⇔x−3x≤−7−3⇔−2x≤−10⇔x≥5-4(x + 3) \ge -12x + 28 \Leftrightarrow x + 3 \le 3x - 7 \Leftrightarrow x - 3x \le -7 - 3 \Leftrightarrow -2x \le -10 \Leftrightarrow x \ge 5 (am împărțit la număr negativ, se schimbă sensul). Deoarece x∈Zx \in \mathbb{Z}, obținem S={5,6,7,...}S = \{5, 6, 7, ...\}.

Exemplul 3

Determinați A∩BA \cap B știind că: A={x∈Z∣3x−1<5}A = \{x \in \mathbb{Z} | 3x - 1 < 5\} și B={x∈Z∣∣x−2∣≤4}B = \{x \in \mathbb{Z} | |x - 2| \le 4\}.

Rezolvare:

  • Pentru AA: 3x−1<5⇔3x<6⇔x<2⇔x∈{...,−1,0,1}⇒A={...,−1,0,1}3x - 1 < 5 \Leftrightarrow 3x < 6 \Leftrightarrow x < 2 \Leftrightarrow x \in \{..., -1, 0, 1\} \Rightarrow A = \{..., -1, 0, 1\};
  • Pentru BB: ∣x−2∣≤4⇔−4≤x−2≤4⇔−2≤x≤6⇔x∈{−2,−1,0,1,2,...,6}|x - 2| \le 4 \Leftrightarrow -4 \le x - 2 \le 4 \Leftrightarrow -2 \le x \le 6 \Leftrightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, ..., 6\} ⇒B={−2,−1,0,1,2,...,6}\Rightarrow B = \{-2, -1, 0, 1, 2, ..., 6\}.
  • A∩B={−2,−1,0,1}A \cap B = \{-2, -1, 0, 1\}.
Exemplul 4

Fie inecuația ∣x+2∣−2(x+1)≤3−2x,x∈Z|x + 2| - 2(x + 1) \le 3 - 2x, x \in \mathbb{Z}. a) Găsiți mulțimea soluțiilor inecuației. b) Aflați intersecția dintre mulțimea soluțiilor și Z−\mathbb{Z}_{-}.

Rezolvare: ∣x+2∣−2(x+1)≤3−2x,x∈Z⇔∣x+2∣≤3−2x+2x+2⇔∣x+2∣≤5|x + 2| - 2(x + 1) \le 3 - 2x, x \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow |x + 2| \le 3 - 2x + 2x + 2 \Leftrightarrow |x + 2| \le 5 ⇔−5≤x+2≤5⇔−7≤x≤3\Leftrightarrow -5 \le x + 2 \le 5 \Leftrightarrow -7 \le x \le 3.

Deoarece x∈Zx \in \mathbb{Z}, obținem S={−7,−6,...,3}S = \{-7, -6, ..., 3\}.

c) S∩Z−={−7,−6,...,−1}S \cap \mathbb{Z}_{-} = \{-7, -6, ..., -1\}.

prof. ing. BRIȘAN Andrei-Sebastian