C1* | EXTRA - Triunghiuri asemenea (recapitulare)

---

Recomandare

A se parcurge împreunǎ cu CURS 11

---

Definiție

Definiție

În două triunghiuri asemenea:

• unghiurile sunt egale între ele
• catetele opuse unghiurilor egale sunt proporționale

Triunghiurile $\triangle EFG$ și $\triangle AMN$ sunt egale

Triunghiurile $\triangle AMN$ și $\triangle ABC$ sunt omotetice

$\rightarrow$ Spunem că $\triangle EFG$ și $\triangle ABC$ sunt triunghiuri asemenea.

---

Notații

Pentru exemplul de mai sus se notează:

$\begin{cases} \measuredangle EFG = \measuredangle ABC \\[5pt] \measuredangle FGE = \measuredangle BCA \\[5pt] \measuredangle GEF = \measuredangle CAB \end{cases}$

$\begin{cases} EF = AN \\[5pt] FG = MN \\[5pt] GE = AN \end{cases}$

$$\frac{EF}{AB} = \frac{FG}{BC} = \frac{GE}{CA}$$ $$$$

---

Demonstrație

Pentru a demonstra că 2 triunghiuri sunt asemenea, ajunge să demonstrăm că ne aflăm în unul din următoarele trei cazuri:

Cazul 1

Două triunghiuri care au două unghiuri egale sunt asemenea

Spunem că: $A \hat BC = I \hat JK$ și $A \hat CB = I \hat KJ$

Deducem că: $\triangle ABC, \triangle IJK$ sunt asemenea

$\Rightarrow \measuredangle BAC = \measuredangle JIK$

$$\frac{IJ}{AB} = \frac{JK}{BC} = \frac{KI}{CA}$$

---

Cazul 2

Două triunghiuri care au un unghi cuprins între două catete proporționale sunt asemenea

Spunem că: $B \hat AC = T \hat RS$ și $\frac{AB}{RT} = \frac{AC}{RS}$

Deducem că: $\triangle ABC, \triangle RTS$ sunt asemenea

$\Rightarrow \measuredangle ABC = \measuredangle RTS$ și $\measuredangle ACB = \measuredangle RST$

$$\frac{AB}{RT} = \frac{AC}{RS} = \frac{BC}{TS}$$

---

Cazul 3

Două triunghiuri care au toate cele 3 laturi proporționale sunt asemenea

Spunem că: $\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$

Deducem că: $\triangle ABC, \triangle A'B'C'$ sunt asemenea

$\Rightarrow \begin{cases} \measuredangle ABC = \measuredangle A'B'C'\\ \measuredangle BAC = \measuredangle B'A'C'\\ \measuredangle ACB = \measuredangle A'C'B' \end{cases}$

---