C11 - Ecuația de gradul al doilea O ecuație de gradul al doilea este o ecuație de forma:
a x 2 + b x + c = 0 , a x^2 + b x + c = 0, a x 2 + b x + c = 0 , unde a , b , c ∈ R a, b, c \in \mathbb{R} a , b , c ∈ R a ≠ 0 a \ne 0 a = 0 x x x
Discriminantul ecuației
Se notează cu:
Δ = b 2 − 4 a c \Delta = b^2 - 4ac Δ = b 2 − 4 a c și determină numărul soluțiilor reale ale ecuației.
Cazuri posibile
Cazurile posibile în funcție de
Δ \Delta Δ
Dacă Δ > 0 \Delta > 0 Δ > 0 două soluții reale distincte :
x 1 = − b + Δ 2 a , x 2 = − b − Δ 2 a x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad
x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} x 1 = 2 a − b + Δ , x 2 = 2 a − b − Δ
Dacă Δ = 0 \Delta = 0 Δ = 0 două soluții egale :
x 1 = x 2 = − b 2 a x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} x 1 = x 2 = 2 a − b
Dacă Δ < 0 \Delta < 0 Δ < 0 nu are soluții reale .
Exemple
Exemplul 1
Rezolvați ecuația:
x 2 + 5 x + 6 = 0 x^2 + 5x + 6 = 0 x 2 + 5 x + 6 = 0 Identificăm coeficienții: a = 1 , b = 5 , c = 6 a = 1, \quad b = 5, \quad c = 6 a = 1 , b = 5 , c = 6
Calculăm discriminantul:
Δ = b 2 − 4 a c = 5 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 > 0 \Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1 > 0 Δ = b 2 − 4 a c = 5 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 > 0 Deci ecuația are două soluții reale distincte :
x 1 = − b + Δ 2 a = − 5 + 1 2 = − 2 x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 1}{2} = -2 x 1 = 2 a − b + Δ = 2 − 5 + 1 = − 2 x 2 = − b − Δ 2 a = − 5 − 1 2 = − 3 x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - 1}{2} = -3 x 2 = 2 a − b − Δ = 2 − 5 − 1 = − 3 R: S = { − 3 , − 2 } S = \{-3, -2\} S = { − 3 , − 2 }
Exemplul 2
Rezolvați ecuația:
x 2 − 10 x + 25 = 0 x^2 - 10x + 25 = 0 x 2 − 10 x + 25 = 0 Identificăm coeficienții: a = 1 , b = − 10 , c = 25 a = 1, \quad b = -10, \quad c = 25 a = 1 , b = − 10 , c = 25
Calculăm discriminantul:
Δ = ( − 10 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 100 − 100 = 0 \Delta = (-10)^2 - 4\cdot1\cdot25 = 100 - 100 = 0 Δ = ( − 10 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 100 − 100 = 0 Deci ecuația are două soluții egale :
x 1 = x 2 = − b 2 a = 10 2 = 5 x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{10}{2} = 5 x 1 = x 2 = 2 a − b = 2 10 = 5 R: S = { 5 } S = \{5\} S = { 5 }
Exemplul 3
Rezolvați ecuația:
− 2 x 2 + x − 1 = 0 -2x^2 + x - 1 = 0 − 2 x 2 + x − 1 = 0 Identificăm coeficienții: a = − 2 , b = 1 , c = − 1 a = -2, \quad b = 1, \quad c = -1 a = − 2 , b = 1 , c = − 1
Calculăm discriminantul:
Δ = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ ( − 2 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 − 8 = − 7 < 0 \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot(-2)\cdot(-1) = 1 - 8 = -7 < 0 Δ = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ ( − 2 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 − 8 = − 7 < 0 Deci ecuația nu are soluții reale .
R: S = ∅ S = \varnothing S = ∅
5. Observație
Uneori, ecuațiile de gradul al doilea nu sunt scrise în forma canonicăa x 2 + b x + c = 0 a x^2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + c = 0
Exemplul 4
Aduceți ecuația la forma canonică și rezolvați:
( x − 1 ) 2 + 2 ( x − 3 ) 2 − 8 = 0 (x - 1)^2 + 2(x - 3)^2 - 8 = 0 ( x − 1 ) 2 + 2 ( x − 3 ) 2 − 8 = 0 Rezolvare:
( x − 1 ) 2 + 2 ( x − 3 ) 2 − 8 = 0 (x - 1)^2 + 2(x - 3)^2 - 8 = 0 ( x − 1 ) 2 + 2 ( x − 3 ) 2 − 8 = 0 Dezvoltăm parantezele:
x 2 − 2 x + 1 + 2 ( x 2 − 6 x + 9 ) − 8 = 0 x^2 - 2x + 1 + 2(x^2 - 6x + 9) - 8 = 0 x 2 − 2 x + 1 + 2 ( x 2 − 6 x + 9 ) − 8 = 0 x 2 − 2 x + 1 + 2 x 2 − 12 x + 18 − 8 = 0 x^2 - 2x + 1 + 2x^2 - 12x + 18 - 8 = 0 x 2 − 2 x + 1 + 2 x 2 − 12 x + 18 − 8 = 0 Reducem termenii asemenea:
3 x 2 − 14 x + 11 = 0 3x^2 - 14x + 11 = 0 3 x 2 − 14 x + 11 = 0 Identificăm coeficienții: a = 3 , b = − 14 , c = 11 a = 3, \quad b = -14, \quad c = 11 a = 3 , b = − 14 , c = 11
Calculăm discriminantul:
Δ = b 2 − 4 a c = ( − 14 ) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 11 = 196 − 132 = 64 > 0 \Delta = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4\cdot3\cdot11 = 196 - 132 = 64 > 0 Δ = b 2 − 4 a c = ( − 14 ) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 11 = 196 − 132 = 64 > 0 Deci ecuația are două soluții reale distincte :
x 1 = − b + Δ 2 a = 14 + 8 6 = 22 6 = 11 3 x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{14 + 8}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} x 1 = 2 a − b + Δ = 6 14 + 8 = 6 22 = 3 11 x 2 = − b − Δ 2 a = 14 − 8 6 = 6 6 = 1 x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{14 - 8}{6} = \frac{6}{6} = 1 x 2 = 2 a − b − Δ = 6 14 − 8 = 6 6 = 1 R: S = { 1 , 11 3 } S = \left\{1, \frac{11}{3}\right\} S = { 1 , 3 11 }