G6 - Centrul de greutate al unui triunghi

---

Medianele unui triunghi

Definitie

Se numește mediană a unui triunghi segmentul care unește unul dintre vârfurile triunghiului cu mijlocul laturii opuse acestuia.

De Retinut

Medianele unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersecție al medianelor se notează cu G și se numește centru de greutate.

Proprietate

Centrul de greutate al unui triunghi este situat pe fiecare mediană, la două treimi de vârful pe care îl conține și la o treime de mijlocul laturii opuse acestuia.

Pentru medianele $AD, BE, CF$ și punctele

• $S$ – mijlocul lui $AG$,

• $T$ – mijlocul lui $BG$,

• $U$ – mijlocul lui $CG$, avem:

• $AS = SG = GD$ sau $AG = \frac{2}{3} AD$, $GD = \frac{1}{3} AD$

• $BT = TG = GE$ sau $BG = \frac{2}{3} BE$, $GE = \frac{1}{3} BE$

• $CU = UG = GF$ sau $CG = \frac{2}{3} CF$, $GF = \frac{1}{3} CF$

---

Exemple de Aplicații

Problema 1

În triunghiul $ABC$, $AD$ este mediană și $G$ este centrul de greutate.

a) Dacă $AD = 27$ cm, calculați $AG$ și $GD$.

b) Dacă $AG = 6$ cm, calculați $AD$ și $GD$.

Rezolvare

a)

$$AG = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18\text{ cm}$$ $$GD = \frac{1}{3} AD = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9\text{ cm}$$

b)

$$AG = \frac{2}{3} AD \Rightarrow 6 = \frac{2}{3} AD$$ $$AD = 6 : \frac{2}{3} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9\text{ cm}$$

---

Problema 2

Dacă $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, atunci triunghiurile $ABG$, $BCG$ și $ACG$ au aceeași arie.

Rezolvare

Construim $BP \perp AG$ și $CQ \perp AG$, cu $P, Q \in AG$.

Aria triunghiurilor este:

$$A_{ABG} = \frac{AG \cdot BP}{2}, \qquad A_{ACG} = \frac{AG \cdot CQ}{2}$$

Comparăm triunghiurile dreptunghice $BPD$ și $CQD$:

• $BD = DC$ (pentru că $AD$ este mediană)
• $\angle BDP \equiv \angle CDQ$ (unghiuri opuse la vârf)

De aici rezultă, prin criteriul I.U., că $\triangle BPD \equiv \triangle CQD$, ceea ce implică:

$$BP = CQ$$

Așadar:

$$A_{ABG} = A_{ACG}$$

Similar se arată că $A_{ABG} = A_{BCG}$.

Prin urmare:

$$A_{ABG} = A_{ACG} = A_{BCG}$$

---