C13.2 - Probleme care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații

---

Etapele rezolvării unei probleme prin ecuații

Pașii de rezolvare

Pentru a rezolva o problemă cu ajutorul ecuațiilor se parcurg următoarele etape:

1. Se stabilesc datele cunoscute și cele necunoscute din problemă;
2. Se alege necunoscuta principală și se exprimă celelalte date în funcție de aceasta;
3. Se stabilesc legăturile matematice între aceste date;
4. Se rezolvă modelul matematic obținut (ecuația sau sistemul de ecuații);
5. Se verifică soluția găsită;
6. Se interpretează rezultatul și se scrie răspunsul final.

---

Probleme rezolvate

---

Problema 1

Enunț

Un elev are iepuri și porumbei.
Întrebat fiind câți iepuri și câți porumbei are, acesta a răspuns:
„Am în total 15 capete și 34 de picioare.”
Câți iepuri și câți porumbei are elevul?

Rezolvare

Notăm:

• $x$ = numărul iepurilor
• $y$ = numărul porumbeilor

Formăm sistemul:

$$\begin{cases} x + y = 15 \\ 4x + 2y = 34 \end{cases}$$

Împărțim a doua ecuație prin 2:

$$\begin{cases} x + y = 15 \\ 2x + y = 17 \end{cases}$$

Scădem prima ecuație din a doua:

$$x = 2$$

Înlocuim în prima:

$$2 + y = 15 \Rightarrow y = 13$$

R: $S = \{(2, 13)\}$
Elevul are 2 iepuri și 13 porumbei.

---

Problema 2

Enunț

Aflați două numere reale știind că diferența lor este 34
iar numărul mai mare este cu 35 mai mic decât dublul numărului mai mic.

Rezolvare

Notăm:

• $x$ = numărul mai mare
• $y$ = numărul mai mic

$$\begin{cases} x - y = 34 \\ x = 2y - 35 \end{cases}$$

Înlocuim a doua ecuație în prima:

$$2y - 35 - y = 34 \Rightarrow y = 69$$ $$x = 2\cdot69 - 35 = 138 - 35 = 103$$

R: $S = \{(103, 69)\}$
Cele două numere sunt 103 și 69.

---

Problema 3

Enunț

Diferența a două numere naturale este de patru ori mai mare decât numărul mai mic.
Împărțind unul dintre cele două numere la 6, se obține câtul 12 și restul 3.
Aflați cele două numere.

Rezolvare

Notăm:

• $x$ = numărul mai mare
• $y$ = numărul mai mic

$$\begin{cases} x - y = 4y \\ x = 6\cdot12 + 3 \end{cases}$$

Rezultă:

$$x = 75$$

Înlocuim în prima ecuație:

$$75 - y = 4y \Rightarrow 5y = 75 \Rightarrow y = 15$$

R: $S = \{(75, 15)\}$
Cele două numere sunt 75 și 15.

---

Observație

Observatie

Dacă se consideră varianta inversă (adică se schimbă ordinea numerelor),
se poate obține și perechea $(375, 75)$, în funcție de interpretarea datelor.

---